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Campi VettorialiAlta

Teorema della divergenza

Calcola il flusso di F=(x,y,z) attraverso la sfera x²+y²+z²=R² con R=2.
Dati forniti
F = (x,y,z)Sfera r=R=2
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  1. Il teorema della divergenza converte il flusso attraverso una superficie chiusa nell'integrale di volume della divergenza. Comincio calcolando div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.
  2. Poiché div F è costante, il flusso sarà semplicemente div F × volume racchiuso: calcolo il volume della sfera, V = 4πR³/3.
  3. Per il teorema il flusso uguaglia l'integrale della divergenza sul volume; essendo div F costante, basta moltiplicarla per il volume racchiuso: Φ = div F · V.
Svolgimento completo
  1. Il teorema della divergenza converte il flusso attraverso una superficie chiusa nell'integrale di volume della divergenza. Comincio calcolando div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.
    ∇⋅F=1+1+1=3\nabla\cdot\mathbf{F} = 1+1+1 = 3
    ∇⋅F=∂∂x(x)+∂∂y(y)+∂∂z(z)=1+1+1=3\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 1+1+1 = \mathbf{3}.
  2. Poiché div F è costante, il flusso sarà semplicemente div F × volume racchiuso: calcolo il volume della sfera, V = 4πR³/3.
    V=43π(2)3=32π3V = \frac{4}{3}\pi(2)^3 = \frac{32\pi}{3}
    V=43πR3=43π(2)3=43π⋅8=32π3≈33.51V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi(2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot8 = \dfrac{32\pi}{3} \approx \mathbf{33.51}.
  3. Per il teorema il flusso uguaglia l'integrale della divergenza sul volume; essendo div F costante, basta moltiplicarla per il volume racchiuso: Φ = div F · V.
    Φ=3⋅32π3=32π≈100.5\Phi = 3\cdot\frac{32\pi}{3} = 32\pi \approx 100.5
    Φ=∭V∇⋅F dV=3⋅32π3=32π≈100.5\Phi = \displaystyle\iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 3 \cdot \dfrac{32\pi}{3} = 32\pi \approx \mathbf{100.5}.
Risultato:Φ = 32π ≈ 100.5.
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