Equazioni Differenziali del 1° Ordine
Teoria Che cos'è un'equazione differenziale
F ( x , y , y ′ ) = 0 ⟶ y ′ = f ( x , y ) F(x,y,y') = 0 \;\longrightarrow\; y' = f(x,y) F ( x , y , y ′ ) = 0 ⟶ y ′ = f ( x , y ) y ( x 0 ) = y 0 ( problema di Cauchy ) y(x_0) = y_0 \quad (\text{problema di Cauchy}) y ( x 0 ) = y 0 ( problema di Cauchy ) y ′ = f ( x , y ) ⇒ pendenza f ( x , y ) in ogni punto y' = f(x,y) \Rightarrow \text{pendenza } f(x,y) \text{ in ogni punto} y ′ = f ( x , y ) ⇒ pendenza f ( x , y ) in ogni punto Variabili separabili
∫ d y h ( y ) = ∫ g ( x ) d x + C \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C ∫ h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x + C h ( y 0 ) = 0 ⇒ y ≡ y 0 soluzione costante h(y_0)=0 \Rightarrow y\equiv y_0 \text{ soluzione costante} h ( y 0 ) = 0 ⇒ y ≡ y 0 soluzione costante y ′ = k y ⟹ y = y 0 e k ( x − x 0 ) y' = ky \implies y = y_0\,e^{k(x-x_0)} y ′ = k y ⟹ y = y 0 e k ( x − x 0 ) Equazioni lineari del 1° ordine
μ ( x ) = e ∫ P ( x ) d x \mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} μ ( x ) = e ∫ P ( x ) d x ( μ y ) ′ = μ Q (\mu y)' = \mu Q ( μ y ) ′ = μ Q y = 1 μ ( ∫ μ Q d x + C ) y = \frac{1}{\mu}\!\left(\int \mu Q\,dx + C\right) y = μ 1 ( ∫ μ Q d x + C ) Equazione di Bernoulli
z ′ + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) z' + (1-n)P(x)\,z = (1-n)Q(x) z ′ + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) y = z 1 / ( 1 − n ) y = z^{1/(1-n)} y = z 1/ ( 1 − n ) Equazioni omogenee e di tipo y'=f(y/x)
v = y x , y ′ = v + x v ′ v = \frac{y}{x},\quad y' = v + x v' v = x y , y ′ = v + x v ′ x d v d x = F ( v ) − v x\,\frac{dv}{dx} = F(v) - v x d x d v = F ( v ) − v ∫ d v F ( v ) − v = ln ∣ x ∣ + C \int \frac{dv}{F(v)-v} = \ln|x| + C ∫ F ( v ) − v d v = ln ∣ x ∣ + C Equazioni esatte e fattore integrante
∂ y M = ∂ x N ⇔ esatta \partial_y M = \partial_x N \;\Leftrightarrow\; \text{esatta} ∂ y M = ∂ x N ⇔ esatta F x = M , F y = N ⇒ F ( x , y ) = C F_x = M,\; F_y = N \;\Rightarrow\; F(x,y)=C F x = M , F y = N ⇒ F ( x , y ) = C μ x = e ∫ M y − N x N d x \mu_x = e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}\,dx} μ x = e ∫ N M y − N x d x Esistenza e unicità: i teoremi di Cauchy
f continua ⇒ ∃ soluzione (Peano) f \text{ continua} \Rightarrow \exists \text{ soluzione (Peano)} f continua ⇒ ∃ soluzione (Peano) ∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ∣ ≤ L ∣ y 1 − y 2 ∣ ⇒ ∃ ! ( Picard ) |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq L|y_1-y_2| \Rightarrow \exists! \;(\text{Picard}) ∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ∣ ≤ L ∣ y 1 − y 2 ∣ ⇒ ∃ ! ( Picard ) y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 : y ≡ 0 e y = x 2 / 4 y'=\sqrt{|y|},\,y(0)=0:\ y\equiv0 \text{ e } y=x^2/4 y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 : y ≡ 0 e y = x 2 /4 ODE del 2° Ordine e Sistemi Differenziali
Teoria Che cos'è una ODE del 2° ordine
a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) a y'' + b y' + c y = f(x) a y ′′ + b y ′ + cy = f ( x ) y ( x 0 ) = y 0 , y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ y(x_0)=y_0,\quad y'(x_0)=y_0' y ( x 0 ) = y 0 , y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ F = m x ′ ′ ( II legge di Newton ) F = m\,x'' \;(\text{II legge di Newton}) F = m x ′′ ( II legge di Newton ) Struttura della soluzione generale e Wronskiano
W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 W(y_1,y_2) = y_1 y_2' - y_1' y_2 W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 W ≠ 0 ⟺ y 1 , y 2 indipendenti W \neq 0 \iff y_1,y_2 \text{ indipendenti} W = 0 ⟺ y 1 , y 2 indipendenti y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y P y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_P y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y P Equazione caratteristica (coefficienti costanti)
a λ 2 + b λ + c = 0 , Δ = b 2 − 4 a c a\lambda^2+b\lambda+c=0,\quad \Delta=b^2-4ac a λ 2 + bλ + c = 0 , Δ = b 2 − 4 a c Δ > 0 : C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x \Delta>0:\; C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} Δ > 0 : C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x Δ = 0 : ( C 1 + C 2 x ) e λ x \Delta=0:\; (C_1+C_2x)e^{\lambda x} Δ = 0 : ( C 1 + C 2 x ) e λ x Δ < 0 : e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) \Delta<0:\; e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) Δ < 0 : e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) Soluzione particolare: coefficienti indeterminati
y ′ ′ + p y ′ + q y = e k x ⇒ y P = e k x k 2 + p k + q ( se k 2 + p k + q ≠ 0 ) y'' + py' + qy = e^{kx} \Rightarrow y_P = \tfrac{e^{kx}}{k^2+pk+q}\;(\text{se } k^2+pk+q\neq0) y ′′ + p y ′ + q y = e k x ⇒ y P = k 2 + p k + q e k x ( se k 2 + p k + q = 0 ) risonanza ⇒ moltiplica per x \text{risonanza} \Rightarrow \text{moltiplica per } x risonanza ⇒ moltiplica per x Variazione dei parametri
u 1 ′ = − y 2 f a W , u 2 ′ = y 1 f a W u_1' = -\frac{y_2 f}{aW},\quad u_2' = \frac{y_1 f}{aW} u 1 ′ = − aW y 2 f , u 2 ′ = aW y 1 f y P = u 1 y 1 + u 2 y 2 y_P = u_1 y_1 + u_2 y_2 y P = u 1 y 1 + u 2 y 2 Vibrazioni meccaniche, smorzamento e risonanza
m x ′ ′ + γ x ′ + k x = F 0 cos ω t m x'' + \gamma x' + k x = F_0\cos\omega t m x ′′ + γ x ′ + k x = F 0 cos ω t ω 0 = k / m \omega_0 = \sqrt{k/m} ω 0 = k / m x P = F 0 2 m ω 0 t sin ( ω 0 t ) ( risonanza ) x_P = \frac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin(\omega_0 t)\;(\text{risonanza}) x P = 2 m ω 0 F 0 t sin ( ω 0 t ) ( risonanza ) Sistemi differenziali lineari
x ′ = A x \mathbf{x}' = A\mathbf{x} x ′ = A x det ( A − λ I ) = λ 2 − tr ( A ) λ + det ( A ) = 0 \det(A-\lambda I)=\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)=0 det ( A − λ I ) = λ 2 − tr ( A ) λ + det ( A ) = 0 x = C 1 e λ 1 t v 1 + C 2 e λ 2 t v 2 \mathbf{x}=C_1e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1+C_2e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 x = C 1 e λ 1 t v 1 + C 2 e λ 2 t v 2 Classificazione degli equilibri (piano traccia–determinante)
τ = tr ( A ) , δ = det ( A ) \tau=\operatorname{tr}(A),\quad \delta=\det(A) τ = tr ( A ) , δ = det ( A ) stabile ⟺ τ < 0 e δ > 0 \text{stabile} \iff \tau<0 \text{ e } \delta>0 stabile ⟺ τ < 0 e δ > 0 sella ⟺ δ < 0 , centro ⟺ τ = 0 , δ > 0 \text{sella} \iff \delta<0,\quad \text{centro} \iff \tau=0,\delta>0 sella ⟺ δ < 0 , centro ⟺ τ = 0 , δ > 0 Curve parametriche
r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) T ^ ( t ) = r ′ ( t ) ∣ r ′ ( t ) ∣ \hat{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} T ^ ( t ) = ∣ r ′ ( t ) ∣ r ′ ( t ) regolare ⟺ r ′ ( t ) ≠ 0 ∀ t \text{regolare} \iff \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}\;\forall t regolare ⟺ r ′ ( t ) = 0 ∀ t Lunghezza d'arco
L = ∫ a b x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t L = \int_a^b \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt L = ∫ a b x ′2 + y ′2 + z ′2 d t d s = ∣ r ′ ( t ) ∣ d t ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt d s = ∣ r ′ ( t ) ∣ d t L = ∫ α β r 2 + r ′ 2 d θ (polari) L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta \;\text{(polari)} L = ∫ α β r 2 + r ′2 d θ (polari) Curvatura e cerchio osculatore
κ = ∣ d T ^ d s ∣ = ∣ r ′ × r ′ ′ ∣ ∣ r ′ ∣ 3 \kappa = \left|\frac{d\hat T}{ds}\right| = \frac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3} κ = d s d T ^ = ∣ r ′ ∣ 3 ∣ r ′ × r ′′ ∣ κ = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 \kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} κ = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣ ρ = 1 κ ( raggio di curvatura ) \rho = \frac{1}{\kappa}\;(\text{raggio di curvatura}) ρ = κ 1 ( raggio di curvatura ) Integrale di linea di 1ª specie (funzione scalare)
∫ γ f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) ∣ r ′ ( t ) ∣ d t \int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt ∫ γ f d s = ∫ a b f ( r ( t )) ∣ r ′ ( t ) ∣ d t massa = ∫ γ ρ d s , f ˉ = 1 L ∫ γ f d s \text{massa} = \int_\gamma \rho\,ds,\quad \bar f = \frac{1}{L}\int_\gamma f\,ds massa = ∫ γ ρ d s , f ˉ = L 1 ∫ γ f d s Integrale di linea di 2ª specie (lavoro)
∫ γ F ⋅ d r = ∫ a b ( P x ′ + Q y ′ + R z ′ ) d t \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b (Px'+Qy'+Rz')\,dt ∫ γ F ⋅ d r = ∫ a b ( P x ′ + Q y ′ + R z ′ ) d t ∫ − γ F ⋅ d r = − ∫ γ F ⋅ d r \int_{-\gamma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{\gamma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ∫ − γ F ⋅ d r = − ∫ γ F ⋅ d r Campi conservativi e potenziale
F = ∇ U ⟹ ∫ γ F ⋅ d r = U ( B ) − U ( A ) \mathbf{F}=\nabla U \implies \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = U(B)-U(A) F = ∇ U ⟹ ∫ γ F ⋅ d r = U ( B ) − U ( A ) ∮ γ F ⋅ d r = 0 ( campo conservativo ) \oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0 \;(\text{campo conservativo}) ∮ γ F ⋅ d r = 0 ( campo conservativo ) ∂ y P = ∂ x Q ( in dominio semplicemente connesso ) \partial_y P = \partial_x Q \;(\text{in dominio semplicemente connesso}) ∂ y P = ∂ x Q ( in dominio semplicemente connesso ) Coordinate polari e curve notevoli
x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ A = 1 2 ∫ α β r 2 d θ A = \tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta A = 2 1 ∫ α β r 2 d θ r = a ( 1 + cos θ ) ( cardioide ) r=a(1+\cos\theta)\;(\text{cardioide}) r = a ( 1 + cos θ ) ( cardioide ) Triedro di Frenet (cenni)
N ^ = T ^ ′ / ∣ T ^ ′ ∣ , B ^ = T ^ × N ^ \hat N = \hat T'/|\hat T'|,\quad \hat B=\hat T\times\hat N N ^ = T ^ ′ /∣ T ^ ′ ∣ , B ^ = T ^ × N ^ T ^ ′ = κ N ^ , B ^ ′ = − τ N ^ \hat T'=\kappa\hat N,\;\hat B'=-\tau\hat N T ^ ′ = κ N ^ , B ^ ′ = − τ N ^ τ = 0 ⟺ curva piana \tau=0 \iff \text{curva piana} τ = 0 ⟺ curva piana Calcolo Differenziale in ℝⁿ
Teoria Funzioni di più variabili: dominio e curve di livello
f : R 2 → R , ( x , y ) ↦ f ( x , y ) f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad (x,y)\mapsto f(x,y) f : R 2 → R , ( x , y ) ↦ f ( x , y ) L c = { x ∈ R n : f ( x ) = c } L_c = \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n : f(\mathbf{x})=c\} L c = { x ∈ R n : f ( x ) = c } Limiti e continuità in ℝⁿ
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∣ x − x 0 ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; |\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|<\delta \implies |f(\mathbf{x})-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∣ x − x 0 ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε limiti diversi su due cammini ⇒ ∄ lim \text{limiti diversi su due cammini} \Rightarrow \nexists\lim limiti diversi su due cammini ⇒ ∄ lim Derivate parziali e differenziabilità
∂ x f = lim h → 0 f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) h \partial_x f = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} ∂ x f = h → 0 lim h f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + ∇ f ⋅ h + o ( ∣ h ∣ ) f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})=f(\mathbf{x}_0)+\nabla f\cdot\mathbf{h}+o(|\mathbf{h}|) f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + ∇ f ⋅ h + o ( ∣ h ∣ ) f ∈ C 1 ⇒ f differenziabile ⇒ f continua f\in C^1 \Rightarrow f \text{ differenziabile} \Rightarrow f \text{ continua} f ∈ C 1 ⇒ f differenziabile ⇒ f continua Gradiente e derivata direzionale
∇ f = ( ∂ x f , ∂ y f ) \nabla f = (\partial_x f,\,\partial_y f) ∇ f = ( ∂ x f , ∂ y f ) D v ^ f = ∇ f ⋅ v ^ ≤ ∣ ∇ f ∣ D_{\hat v}f = \nabla f\cdot\hat v \leq |\nabla f| D v ^ f = ∇ f ⋅ v ^ ≤ ∣∇ f ∣ ∇ f ⊥ L c ( curve di livello ) \nabla f \perp L_c \;(\text{curve di livello}) ∇ f ⊥ L c ( curve di livello ) Piano tangente e formula di Taylor
z = f 0 + f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) z = f_0+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0) z = f 0 + f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) f ( x 0 + h ) ≈ f 0 + ∇ f ⋅ h + 1 2 h T H f h f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})\approx f_0+\nabla f\cdot\mathbf{h}+\tfrac12\mathbf{h}^T H_f\,\mathbf{h} f ( x 0 + h ) ≈ f 0 + ∇ f ⋅ h + 2 1 h T H f h Punti critici e classificazione con l'Hessiana
∇ f ( x 0 ) = 0 ( punto critico ) \nabla f(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}\;(\text{punto critico}) ∇ f ( x 0 ) = 0 ( punto critico ) H f = ( f x x f x y f y x f y y ) , det H f = f x x f y y − f x y 2 H_f = \begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix},\quad \det H_f=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 H f = ( f xx f y x f x y f y y ) , det H f = f xx f y y − f x y 2 det H > 0 , f x x > 0 ⇒ min ; det H < 0 ⇒ sella \det H>0,\,f_{xx}>0 \Rightarrow \text{min};\;\det H<0\Rightarrow\text{sella} det H > 0 , f xx > 0 ⇒ min ; det H < 0 ⇒ sella Regola della catena e teorema di Dini
d d t f ( r ( t ) ) = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f\cdot\mathbf{r}'(t) d t d f ( r ( t )) = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) F x + F y φ ′ = 0 ⇒ φ ′ ( x ) = − F x F y F_x + F_y\,\varphi' = 0 \Rightarrow \varphi'(x) = -\frac{F_x}{F_y} F x + F y φ ′ = 0 ⇒ φ ′ ( x ) = − F y F x Ottimizzazione vincolata: moltiplicatori di Lagrange
∇ f = λ ∇ g , g ( x , y ) = 0 \nabla f = \lambda\nabla g,\quad g(x,y)=0 ∇ f = λ ∇ g , g ( x , y ) = 0 { f x = λ g x f y = λ g y g = 0 \begin{cases}f_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\\ g=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ f x = λ g x f y = λ g y g = 0 Funzioni Vettoriali e Varietà
Teoria Funzioni vettoriali: campi, trasformazioni, superfici
f : R n → R m , f = ( f 1 , … , f m ) f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\quad f=(f_1,\dots,f_m) f : R n → R m , f = ( f 1 , … , f m ) r ( u , v ) : R 2 → R 3 ( superficie ) \mathbf{r}(u,v):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\;(\text{superficie}) r ( u , v ) : R 2 → R 3 ( superficie ) Matrice Jacobiana
J f = ( ∂ 1 f 1 ⋯ ∂ n f 1 ⋮ ⋮ ∂ 1 f m ⋯ ∂ n f m ) J_f = \begin{pmatrix}\partial_1 f_1&\cdots&\partial_n f_1\\\vdots&&\vdots\\\partial_1 f_m&\cdots&\partial_n f_m\end{pmatrix} J f = ∂ 1 f 1 ⋮ ∂ 1 f m ⋯ ⋯ ∂ n f 1 ⋮ ∂ n f m f ( x 0 + h ) ≈ f ( x 0 ) + J f h f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})\approx f(\mathbf{x}_0)+J_f\,\mathbf{h} f ( x 0 + h ) ≈ f ( x 0 ) + J f h ∣ det J f ∣ = fattore di dilatazione dei volumi |\det J_f| = \text{fattore di dilatazione dei volumi} ∣ det J f ∣ = fattore di dilatazione dei volumi Regola della catena vettoriale
J f ∘ g ( x ) = J f ( g ( x ) ) ⋅ J g ( x ) J_{f\circ g}(\mathbf{x}) = J_f(g(\mathbf{x}))\cdot J_g(\mathbf{x}) J f ∘ g ( x ) = J f ( g ( x )) ⋅ J g ( x ) ( m × n ) ⋅ ( n × p ) = m × p (m\times n)\cdot(n\times p) = m\times p ( m × n ) ⋅ ( n × p ) = m × p Teorema della funzione inversa
det J f ( x 0 ) ≠ 0 ⟹ f localmente invertibile \det J_f(\mathbf{x}_0)\neq0 \implies f \text{ localmente invertibile} det J f ( x 0 ) = 0 ⟹ f localmente invertibile J f − 1 = [ J f ] − 1 J_{f^{-1}}=[J_f]^{-1} J f − 1 = [ J f ] − 1 Teorema della funzione implicita (vettoriale)
det ( ∂ F / ∂ y ) ≠ 0 ⇒ y = g ( x ) \det\!\left(\partial F/\partial\mathbf{y}\right)\neq0 \Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{g}(\mathbf{x}) det ( ∂ F / ∂ y ) = 0 ⇒ y = g ( x ) J g = − ( ∂ F ∂ y ) − 1 ∂ F ∂ x J_g = -\!\left(\frac{\partial F}{\partial\mathbf{y}}\right)^{-1}\!\frac{\partial F}{\partial\mathbf{x}} J g = − ( ∂ y ∂ F ) − 1 ∂ x ∂ F Superfici parametriche, normale e area
n = r u × r v \mathbf{n} = \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v n = r u × r v d S = ∣ r u × r v ∣ d u d v dS = |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv d S = ∣ r u × r v ∣ d u d v A = ∬ D ∣ r u × r v ∣ d u d v A = \iint_D|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv A = ∬ D ∣ r u × r v ∣ d u d v Moltiplicatori di Lagrange (più vincoli)
∇ f = λ ∇ g , g = 0 \nabla f = \lambda\nabla g,\quad g=0 ∇ f = λ ∇ g , g = 0 ∇ f = ∑ i = 1 k λ i ∇ g i , g 1 = ⋯ = g k = 0 \nabla f = \sum_{i=1}^k\lambda_i\nabla g_i,\quad g_1=\cdots=g_k=0 ∇ f = i = 1 ∑ k λ i ∇ g i , g 1 = ⋯ = g k = 0 Cambio di coordinate e Jacobiano negli integrali
∬ T ( D ) f d x d y = ∬ D f ( T ) ∣ det J T ∣ d u d v \iint_{T(D)} f\,dx\,dy = \iint_D f(T)\,|\det J_T|\,du\,dv ∬ T ( D ) f d x d y = ∬ D f ( T ) ∣ det J T ∣ d u d v d x d y = r d r d θ ( polari ) dx\,dy = r\,dr\,d\theta\;(\text{polari}) d x d y = r d r d θ ( polari ) d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ( sferiche ) dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\;(\text{sferiche}) d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ( sferiche ) Dall'integrale singolo al doppio
∬ D f d A = lim Δ A → 0 ∑ i f ( x i , y i ) Δ A \iint_D f\,dA = \lim_{\Delta A\to0}\sum_i f(x_i,y_i)\,\Delta A ∬ D f d A = Δ A → 0 lim i ∑ f ( x i , y i ) Δ A ∬ D 1 d A = area ( D ) \iint_D 1\,dA = \text{area}(D) ∬ D 1 d A = area ( D ) Teorema di Fubini (calcolo iterato)
∬ R f d A = ∫ a b ∫ c d f d y d x = ∫ c d ∫ a b f d x d y \iint_R f\,dA = \int_a^b\!\int_c^d f\,dy\,dx = \int_c^d\!\int_a^b f\,dx\,dy ∬ R f d A = ∫ a b ∫ c d f d y d x = ∫ c d ∫ a b f d x d y f continua ⇒ ordine scambiabile f \text{ continua} \Rightarrow \text{ordine scambiabile} f continua ⇒ ordine scambiabile Domini normali e inversione dell'ordine
D y -norm = { a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) } D_{y\text{-norm}}=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\} D y -norm = { a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )} ∬ D f = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f d y d x \iint_D f = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx ∬ D f = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f d y d x Coordinate polari nel piano
x = r cos θ , y = r sin θ , d A = r d r d θ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta x = r cos θ , y = r sin θ , d A = r d r d θ ∬ D f d A = ∫ α β ∫ 0 R ( θ ) f r d r d θ \iint_D f\,dA = \int_\alpha^\beta\!\int_0^{R(\theta)} f\,r\,dr\,d\theta ∬ D f d A = ∫ α β ∫ 0 R ( θ ) f r d r d θ Integrale triplo
∭ V f d V = ∫ a b ∫ g 1 g 2 ∫ h 1 h 2 f d z d y d x \iiint_V f\,dV = \int_a^b\!\int_{g_1}^{g_2}\!\int_{h_1}^{h_2} f\,dz\,dy\,dx ∭ V f d V = ∫ a b ∫ g 1 g 2 ∫ h 1 h 2 f d z d y d x ∭ V 1 d V = volume ( V ) \iiint_V 1\,dV = \text{volume}(V) ∭ V 1 d V = volume ( V ) Coordinate cilindriche e sferiche
d V cil = r d r d θ d z dV_{\text{cil}} = r\,dr\,d\theta\,dz d V cil = r d r d θ d z d V sfer = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ dV_{\text{sfer}} = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta d V sfer = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 x^2+y^2+z^2 = \rho^2 x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 Formula generale del cambio di variabili
∬ D f d x d y = ∬ D ∗ f ( Φ ) ∣ det J Φ ∣ d u d v \iint_D f\,dx\,dy = \iint_{D^*} f(\Phi)\,|\det J_\Phi|\,du\,dv ∬ D f d x d y = ∬ D ∗ f ( Φ ) ∣ det J Φ ∣ d u d v J Φ = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) J_\Phi = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} J Φ = ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) Applicazioni: massa, baricentro, momento d'inerzia
m = ∭ V ρ d V m = \iiint_V \rho\,dV m = ∭ V ρ d V x ˉ = 1 m ∭ V x ρ d V \bar x = \frac{1}{m}\iiint_V x\,\rho\,dV x ˉ = m 1 ∭ V x ρ d V I z = ∭ V ( x 2 + y 2 ) ρ d V I_z = \iiint_V (x^2+y^2)\,\rho\,dV I z = ∭ V ( x 2 + y 2 ) ρ d V Campi Vettoriali e Teoremi Integrali
Teoria Che cos'è un campo vettoriale
F : R n → R n , x ↦ F ( x ) \mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\quad \mathbf{x}\mapsto\mathbf{F}(\mathbf{x}) F : R n → R n , x ↦ F ( x ) r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ( linee di flusso ) \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\;(\text{linee di flusso}) r ′ ( t ) = F ( r ( t )) ( linee di flusso ) Divergenza e rotore
∇ ⋅ F = ∂ x P + ∂ y Q + ∂ z R \nabla\cdot\mathbf{F} = \partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R ∇ ⋅ F = ∂ x P + ∂ y Q + ∂ z R ∇ × F = ( R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ) \nabla\times\mathbf{F} = (R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y) ∇ × F = ( R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ) ∇ ⋅ F > 0 : sorgente , < 0 : pozzo \nabla\cdot\mathbf{F}>0:\text{sorgente},\;<0:\text{pozzo} ∇ ⋅ F > 0 : sorgente , < 0 : pozzo Campi conservativi e potenziale
F = ∇ U ⟺ ∇ × F = 0 ( dominio s.c. ) \mathbf{F}=\nabla U \iff \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\;(\text{dominio s.c.}) F = ∇ U ⟺ ∇ × F = 0 ( dominio s.c. ) ∇ × ( ∇ U ) = 0 \nabla\times(\nabla U)=\mathbf{0} ∇ × ( ∇ U ) = 0 ∮ γ F ⋅ d r = 0 su ogni curva chiusa \oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0 \text{ su ogni curva chiusa} ∮ γ F ⋅ d r = 0 su ogni curva chiusa Integrale di superficie (flusso)
Φ = ∬ Σ F ⋅ n ^ d S \Phi = \iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot\hat n\,dS Φ = ∬ Σ F ⋅ n ^ d S = ∬ D F ⋅ ( r u × r v ) d u d v = \iint_D\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv = ∬ D F ⋅ ( r u × r v ) d u d v Teorema di Gauss-Green nel piano
∮ ∂ D ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( Q x − P y ) d A \oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy) = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA ∮ ∂ D ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( Q x − P y ) d A A = 1 2 ∮ ∂ D ( x d y − y d x ) A = \tfrac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx) A = 2 1 ∮ ∂ D ( x d y − y d x ) Teorema della Divergenza (Gauss)
∯ ∂ V F ⋅ d S = ∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V \oiint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV ∬ ∂ V F ⋅ d S = ∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 ( Gauss ) \nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\;(\text{Gauss}) ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 ( Gauss ) Teorema di Stokes
∮ ∂ Σ F ⋅ d r = ∬ Σ ( ∇ × F ) ⋅ d S \oint_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} ∮ ∂ Σ F ⋅ d r = ∬ Σ ( ∇ × F ) ⋅ d S ∮ B ⋅ d r = μ 0 I ( Amp e ˋ re ) \oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I\;(\text{Ampère}) ∮ B ⋅ d r = μ 0 I ( Amp e ˋ re ) Le tre formule come un'unica idea
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0 ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 ∫ Ω d ω = ∫ ∂ Ω ω ( Stokes generale ) \int_\Omega d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega\;(\text{Stokes generale}) ∫ Ω d ω = ∫ ∂ Ω ω ( Stokes generale ) Serie di Potenze, Fourier e Trasformate
Teoria Serie numeriche — criteri di convergenza
lim ∣ a n + 1 / a n ∣ = L < 1 ⟹ conv. assoluta \lim|a_{n+1}/a_n| = L < 1 \implies \text{conv. assoluta} lim ∣ a n + 1 / a n ∣ = L < 1 ⟹ conv. assoluta lim sup ∣ a n ∣ n = L < 1 ⟹ conv. assoluta \limsup\sqrt[n]{|a_n|} = L < 1 \implies \text{conv. assoluta} lim sup n ∣ a n ∣ = L < 1 ⟹ conv. assoluta ∑ ( − 1 ) n b n , b n ↘ 0 ⟹ converge (Leibniz) \sum(-1)^n b_n,\; b_n\searrow0 \implies \text{converge (Leibniz)} ∑ ( − 1 ) n b n , b n ↘ 0 ⟹ converge (Leibniz) ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge ⟺ p > 1 \sum_{n=1}^\infty 1/n^p \text{ converge } \iff p>1 n = 1 ∑ ∞ 1/ n p converge ⟺ p > 1 Serie di potenze e raggio di convergenza
R = 1 / lim sup ∣ c n ∣ n R = 1/\limsup\sqrt[n]{|c_n|} R = 1/ lim sup n ∣ c n ∣ ∣ x − x 0 ∣ < R ⟹ conv. assoluta |x-x_0|<R \implies \text{conv. assoluta} ∣ x − x 0 ∣ < R ⟹ conv. assoluta f ′ ( x ) = ∑ n c n ( x − x 0 ) n − 1 ( stesso R ) f'(x) = \sum n c_n (x-x_0)^{n-1} \;(\text{stesso }R) f ′ ( x ) = ∑ n c n ( x − x 0 ) n − 1 ( stesso R ) Serie di Taylor e sviluppi notevoli
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n e x = ∑ x n / n ! , sin x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) ! e^x = \sum x^n/n!,\; \sin x = \sum(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! e x = ∑ x n / n ! , sin x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 )! ln ( 1 + x ) = ∑ ( − 1 ) n − 1 x n / n , ∣ x ∣ ≤ 1 \ln(1+x)=\sum(-1)^{n-1}x^n/n,\; |x|\leq1 ln ( 1 + x ) = ∑ ( − 1 ) n − 1 x n / n , ∣ x ∣ ≤ 1 ( α n ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} ( n α ) = n ! α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) Serie di Fourier — periodi e coefficienti
f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π x L + b n sin n π x L ) f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\big(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\big) f ( x ) ∼ 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos L nπ x + b n sin L nπ x ) a n = 1 L ∫ − L L f ( x ) cos n π x L d x , b n = 1 L ∫ − L L f ( x ) sin n π x L d x a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\; b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx a n = L 1 ∫ − L L f ( x ) cos L nπ x d x , b n = L 1 ∫ − L L f ( x ) sin L nπ x d x c n = 1 2 L ∫ − L L f ( x ) e − i n π x / L d x c_n = \frac1{2L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{-i n\pi x/L}\,dx c n = 2 L 1 ∫ − L L f ( x ) e − inπ x / L d x f pari ⇒ b n = 0 , f dispari ⇒ a n = 0 f\text{ pari}\Rightarrow b_n=0,\quad f\text{ dispari}\Rightarrow a_n=0 f pari ⇒ b n = 0 , f dispari ⇒ a n = 0 Convergenza delle serie di Fourier e fenomeno di Gibbs
f ( x ± ) = lim h → 0 + f ( x ± h ) f(x^\pm)=\lim_{h\to0^+}f(x\pm h) f ( x ± ) = h → 0 + lim f ( x ± h ) Dirichlet: f ( x + ) + f ( x − ) 2 nelle discontinuit a ˋ \text{Dirichlet: } \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} \text{ nelle discontinuità} Dirichlet: 2 f ( x + ) + f ( x − ) nelle discontinuit a ˋ Parseval: 1 2 L ∫ − L L ∣ f ∣ 2 = ∑ − ∞ ∞ ∣ c n ∣ 2 \text{Parseval: } \frac1{2L}\int_{-L}^{L}|f|^2 = \sum_{-\infty}^{\infty}|c_n|^2 Parseval: 2 L 1 ∫ − L L ∣ f ∣ 2 = − ∞ ∑ ∞ ∣ c n ∣ 2 Trasformata di Fourier — dal discreto al continuo
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i ξ x d x \hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i ξ x d x f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i ξ x d ξ f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\xi)e^{2\pi i\xi x}\,d\xi f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i ξ x d ξ f ′ ^ = 2 π i ξ f ^ , f ∗ g ^ = f ^ g ^ \widehat{f'}=2\pi i\xi\,\hat f,\quad \widehat{f*g}=\hat f\,\hat g f ′ = 2 π i ξ f ^ , f ∗ g = f ^ g ^ Trasformata di Laplace
F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t L { f ′ } = s F ( s ) − f ( 0 ) , L { f ′ ′ } = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) \mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0),\; \mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-s f(0)-f'(0) L { f ′ } = s F ( s ) − f ( 0 ) , L { f ′′ } = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) L { e a t } = 1 / ( s − a ) , L { sin ω t } = ω / ( s 2 + ω 2 ) \mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a),\; \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\omega/(s^2+\omega^2) L { e a t } = 1/ ( s − a ) , L { sin ω t } = ω / ( s 2 + ω 2 ) Applicazioni: ODE, circuiti e controllo
L { y ( n ) } = s n Y ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − ⋯ − y ( n − 1 ) ( 0 ) \mathcal{L}\{y^{(n)}\} = s^nY(s) - s^{n-1}y(0) - \dots - y^{(n-1)}(0) L { y ( n ) } = s n Y ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − ⋯ − y ( n − 1 ) ( 0 ) lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) ( valore finale ) \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to0} sF(s) \;(\text{valore finale}) t → ∞ lim f ( t ) = s → 0 lim s F ( s ) ( valore finale ) H ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) ( funzione di trasferimento ) H(s) = Y(s)/U(s) \;(\text{funzione di trasferimento}) H ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) ( funzione di trasferimento ) 
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