ODE 1°Media

ODE a variabili separabili

Risolvi l'ODE y' = 2xy con condizione iniziale y(0) = 3.

Dati forniti

y' = 2xyy(0) = 3

Passi

0 / 3

Equazione a variabili separabili: porto tutto ciò che contiene y a sinistra e ciò che contiene x a destra, così posso integrare i due lati in modo indipendente.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Integro entrambi i membri separati: ∫dy/y = ln|y| e ∫2x dx = x².
Esponenziando ottengo y = e^C·e^{x²}; la condizione iniziale y(0) = 3 fissa la costante e dà la soluzione esplicita.

Svolgimento completo

Equazione a variabili separabili: porto tutto ciò che contiene y a sinistra e ciò che contiene x a destra, così posso integrare i due lati in modo indipendente.
$\frac{dy}{y} = 2x\,dx$
$\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$ . Separiamo le variabili dividendo per $y$ e moltiplicando per $dx$ .
Integro entrambi i membri separati: ∫dy/y = ln|y| e ∫2x dx = x².
$\ln|y| = x^2 + C$
$\displaystyle\int\dfrac{dy}{y} = \displaystyle\int 2x\,dx \;\Rightarrow\; \ln|y| = x^2 + C$ .
Esponenziando ottengo y = e^C·e^{x²}; la condizione iniziale y(0) = 3 fissa la costante e dà la soluzione esplicita.
$y(0)=3 \Rightarrow C=\ln3 \Rightarrow y = 3e^{x^2}$
$y(0) = 3 \;\Rightarrow\; C = \ln 3 \;\Rightarrow\; y = \mathbf{3}\,e^{x^2}$ .

Risultato:y(x) = 3e^{x²}.

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