Funzioni Vettoriali e Varietà

Una funzione vettoriale $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ associa a ogni input $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ un output con $m$ componenti $f(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),\dots,f_m(\mathbf{x}))$. Ogni componente $f_i$ è una funzione scalare ordinaria: studiare $f$ significa studiare le sue componenti insieme.

A seconda di $n$ e $m$ cambia l'interpretazione geometrica:

• $n=1$ (curva): $\mathbf{r}(t)$ descrive una traiettoria — visto nel capitolo Curve.
• $n=m$ (trasformazione): $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ "deforma" il piano. È il caso dei cambi di coordinate (polari, sferiche) e delle mappe conformi.
• $m=n$ visto come freccia (campo vettoriale): a ogni punto si attacca un vettore — velocità di un fluido, campo elettrico.
• $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ (superficie parametrica): $\mathbf{r}(u,v)$ disegna una superficie nello spazio.

L'idea chiave del calcolo differenziale resta la stessa: vicino a un punto, $f$ è quasi lineare. Quella mappa lineare è la matrice Jacobiana.

Il differenziale di $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ è rappresentato dalla matrice Jacobiana $J_f$, di dimensione $m\times n$, che raccoglie tutte le derivate parziali:

La riga $i$-esima è il gradiente della componente $f_i$; la colonna $j$-esima dice come tutte le componenti reagiscono a una variazione di $x_j$.

È la migliore approssimazione lineare. Vicino a $\mathbf{x}_0$ vale

la generalizzazione di $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)h$: la Jacobiana fa le veci della derivata.

Il determinante Jacobiano (quando $m=n$) ha un significato geometrico preciso: $\det J_f$ è il fattore locale di dilatazione dei volumi. Una regione di volume $dV$ viene trasformata da $f$ in una di volume $|\det J_f|\,dV$. È proprio questo fattore che compare nel cambio di variabili negli integrali multipli (es. il $r$ delle coordinate polari è $|\det J|$).

Componendo due funzioni vettoriali $g:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$ e $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, la Jacobiana della composta è il prodotto delle Jacobiane:

È la versione matriciale di $(f\circ g)'=f'(g)\,g'$: la regola della catena scalare si generalizza esattamente, con la moltiplicazione di numeri sostituita dal prodotto righe-per-colonne. Le dimensioni tornano: $(m\times n)\cdot(n\times p)=m\times p$.

Perché conta l'ordine. Il prodotto di matrici non è commutativo, quindi l'ordine $J_f\cdot J_g$ (prima si applica $g$, poi $f$) è essenziale. Tutte le formule di derivazione di funzioni composte multivariabili — incluse quelle implicite e inverse delle prossime sezioni — discendono da questa regola.

Quando una trasformazione $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ è invertibile, almeno localmente? La risposta è nel determinante Jacobiano.

Teorema della funzione inversa. Se $f$ è $C^1$ e $\det J_f(\mathbf{x}_0)\neq 0$, allora $f$ è localmente invertibile attorno a $\mathbf{x}_0$: esiste un intorno su cui $f$ è una biiezione con inversa $C^1$. Inoltre la Jacobiana dell'inversa è l'inversa della Jacobiana:

Intuizione. Se la migliore approssimazione lineare $J_f$ è invertibile (non schiaccia volumi a zero, $\det\neq0$), allora anche $f$ lo è vicino a quel punto. Se invece $\det J_f=0$, la trasformazione "collassa" localmente una direzione e non può essere invertita.

Attenzione: solo locale. Il teorema non garantisce invertibilità globale: $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$ ha $\det J_f\neq0$ ovunque ma non è iniettiva globalmente (è periodica in $y$).

Generalizza il teorema di Dini a sistemi di equazioni. Data $F:\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^m$ e il sistema $F(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{0}$ ($n$ variabili libere $\mathbf{x}$, $m$ da esplicitare $\mathbf{y}$), ci chiediamo se possiamo risolvere per $\mathbf{y}$ in funzione di $\mathbf{x}$.

Condizione. Se la sottomatrice Jacobiana rispetto a $\mathbf{y}$ è invertibile, $\det(\partial F/\partial\mathbf{y})\neq 0$, allora localmente esiste $\mathbf{y}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ con $F(\mathbf{x},\mathbf{g}(\mathbf{x}))=\mathbf{0}$, e

Da dove viene la formula. Derivando $F(\mathbf{x},\mathbf{g}(\mathbf{x}))=\mathbf{0}$ con la regola della catena: $\dfrac{\partial F}{\partial\mathbf{x}}+\dfrac{\partial F}{\partial\mathbf{y}}J_g=0$, da cui si isola $J_g$. È l'analogo matriciale di $\varphi'=-F_x/F_y$.

Geometricamente: l'insieme $F=\mathbf{0}$ è una varietà (curva, superficie...) che, dove la condizione vale, è localmente il grafico di una funzione.

Una superficie parametrica $\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ è l'analogo bidimensionale di una curva: due parametri invece di uno. Le curve coordinate (a $u$ o $v$ fissato) hanno per tangenti i vettori $\mathbf{r}_u$ e $\mathbf{r}_v$.

Vettore normale. Il prodotto vettoriale delle due tangenti è perpendicolare alla superficie:

La superficie è regolare dove $\mathbf{n}\neq\mathbf{0}$ (le due tangenti non sono parallele). La direzione di $\mathbf{n}$ definisce l'orientazione (il "verso" della superficie), cruciale per il flusso.

Elemento d'area e area totale. Il modulo $|\mathbf{n}|=|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|$ è l'area del parallelogramma generato dalle tangenti: è l'elemento d'area $dS=|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv$. L'area della superficie si ottiene integrando:

È l'analogo bidimensionale di $L=\int|\mathbf{r}'|\,dt$: lì un "metro infinitesimo", qui un "tassello infinitesimo" di area.

Per ottimizzare $f(\mathbf{x})$ sotto un vincolo $g(\mathbf{x})=0$, nei punti di ottimo i gradienti sono paralleli:

Il motivo geometrico (visto in Calcolo in Rⁿ): all'ottimo la superficie di livello di $f$ è tangente al vincolo, quindi i loro gradienti sono allineati.

Più vincoli. Con $k$ vincoli $g_1=\cdots=g_k=0$, l'ottimo si trova dove $\nabla f$ è combinazione lineare dei gradienti dei vincoli:

Cioè $\nabla f$ giace nello spazio generato dai $\nabla g_i$ (lo spazio normale alla varietà dei vincoli). Si ottiene un sistema in $\mathbf{x}$ e nei moltiplicatori $\lambda_i$. La condizione richiede che i $\nabla g_i$ siano indipendenti (qualifica dei vincoli), cioè che la Jacobiana dei vincoli abbia rango pieno.

I cambi di coordinate sono funzioni vettoriali invertibili $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. Il determinante Jacobiano misura quanto $T$ "stira" le aree/volumi, e questo è esattamente il fattore di correzione negli integrali multipli:

Coordinate polari $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$: la Jacobiana è $\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$, con $\det J=r$. Ecco perché $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$: un anellino a raggio $r$ ha area proporzionale a $r$.

Coordinate sferiche $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, ecc.: $|\det J|=\rho^2\sin\phi$, da cui $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$. Scegliere le coordinate giuste — adattate alla simmetria del problema — è spesso la chiave per rendere calcolabile un integrale multiplo.