Serie di Potenze, Fourier e Trasformate

Una serie numerica $\sum_{n=0}^\infty a_n$ è il limite delle somme parziali $S_N=\sum_{n=0}^N a_n$ per $N\to\infty$. Prima di lavorare con le serie di funzioni, dobbiamo saper decidere se una serie numerica converge.

Criterio del rapporto (d'Alembert). Se $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$, allora: se $L<1$ la serie converge assolutamente; se $L>1$ diverge; se $L=1$ il criterio è inconcludente. Funziona bene quando $a_n$ contiene fattoriali o esponenziali.

Criterio della radice (Cauchy). Se $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = L$, stesse conclusioni del rapporto. Spesso più efficace quando $a_n$ è una potenza $n$-esima.

Criterio di Leibniz per serie alternate. Una serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n$ con $b_n\geq0$ converge se $b_n$ è decrescente ($b_{n+1}\leq b_n$) e $b_n\to0$. La convergenza è condizionata (non assoluta in generale).

Convergenza assoluta. Se $\sum|a_n|$ converge, allora $\sum a_n$ converge (ma non viceversa). Le serie assolutamente convergenti godono della proprietà riordinabile: cambiare l'ordine dei termini non altera la somma.

Serie notevoli: geometrica $\sum r^n$ converge a $1/(1-r)$ per $|r|<1$; armonica $\sum 1/n$ diverge; armonica generalizzata $\sum 1/n^p$ converge per $p>1$, diverge per $p\leq1$.

Una serie di potenze è una serie del tipo $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n$, dove $x$ è una variabile. A differenza delle serie numeriche, qui la convergenza dipende da $x$.

Raggio di convergenza. Il teorema di Cauchy-Hadamard garantisce l'esistenza di $R\in[0,\infty]$ tale che:

• Per $|x-x_0| < R$: la serie converge assolutamente (e uniformemente su ogni compatto).
• Per $|x-x_0| > R$: la serie diverge.
• Per $|x-x_0| = R$: va studiato caso per caso (agli estremi).

Formula di Hadamard: $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$. Quando il limite del rapporto esiste, $R = \lim_{n\to\infty} |c_n/c_{n+1}|$.

Proprietà fondamentali. All'interno del raggio di convergenza, la serie di potenze rappresenta una funzione $f(x)$ che è:

• Continua (e anzi $C^\infty$).
• Derivabile termine a termine: $f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n c_n (x-x_0)^{n-1}$, con lo stesso $R$.
• Integrabile termine a termine: $\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} + C$, con lo stesso $R$.

Questa flessibilità rende le serie di potenze lo strumento ideale per risolvere equazioni differenziali in forma di serie (metodo di Frobenius).

Una funzione $f$ infinitamente derivabile in $x_0$ può essere espressa localmente dalla serie di Taylor:

Per $x_0=0$ si chiama serie di Maclaurin. Non tutte le funzioni $C^\infty$ sono rappresentabili dalla loro serie di Taylor: serve che il resto $R_N(x)\to0$, condizione che vale per le funzioni analitiche.

Sviluppi fondamentali (da ricordare a memoria):

• $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, $R=\infty$.
• $\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$, $R=\infty$.
• $\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$, $R=\infty$.
• $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$, $R=1$ (serie geometrica).
• $\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$, $R=1$ (converge anche a $x=1$).
• $\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n$ (serie binomiale), $R=1$, dove $\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$.

Come costruire nuovi sviluppi. Spesso si parte da uno sviluppo noto e si applicano sostituzioni, integrazioni o derivazioni. Esempio: da $1/(1-x)=\sum x^n$, integrando termine a termine si ottiene $-\ln(1-x)=\sum x^n/n$.

Mentre una serie di Taylor approssima localmente, la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica su tutto un intervallo come somma di seni e coseni (le "frequenze fondamentali").

Per una funzione $f$ periodica di periodo $2L$ (cioè $f(x+2L)=f(x)$ per ogni $x$), la serie di Fourier è:

I coefficienti di Fourier si calcolano con le formule (prodotto scalare $L^2$):

Perché funziona. Le funzioni $\{\cos(n\pi x/L),\sin(n\pi x/L)\}$ formano una base ortogonale nello spazio $L^2[-L,L]$: l'integrale del prodotto di due funzioni diverse è zero. I coefficienti $a_n,b_n$ sono le "coordinate" di $f$ in questa base — esattamente come si trovano le componenti di un vettore proiettandolo sui versori.

Parsimonia e simmetria:

• Se $f$ è pari ($f(-x)=f(x)$): $b_n=0$, solo coseni (serie di soli coseni).
• Se $f$ è dispari ($f(-x)=-f(x)$): $a_n=0$, solo seni (serie di soli seni).
• Il termine $a_0/2$ è il valor medio di $f$ sull'intervallo: $\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f$.

Forma complessa. Usando $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, la serie si scrive elegantemente come:

I coefficienti $c_n$ sono complessi: per $f$ reale vale $c_{-n}=\overline{c_n}$. La forma complessa è più compatta e si generalizza naturalmente alla trasformata di Fourier.

Una volta calcolati i coefficienti, ci si chiede: la serie converge effettivamente a $f(x)$? La risposta dipende dalla regolarità di $f$.

Teorema di Dirichlet (convergenza puntuale). Se $f$ è limitata e regolare a tratti (ha un numero finito di discontinuità di salto e di estremi locali in un periodo), allora la serie di Fourier converge a:

• $f(x)$ nei punti dove $f$ è continua.
• $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ (la media dei limiti destro e sinistro) nei punti di discontinuità.

Fenomeno di Gibbs. Vicino a una discontinuità di salto, la serie di Fourier presenta oscillazioni che non scompaiono all'aumentare del numero di armoniche: l'ampiezza del "ringing" si stabilizza a circa il 9% del salto, anche se la zona si restringe. È il motivo per cui nelle immagini JPEG si vedono "artefatti" sui bordi netti.

Convergenza uniforme. Se $f$ è continua e regolare a tratti (in particolare se $f$ è $C^1$ a tratti e continua), la serie di Fourier converge uniformemente a $f$ su tutto l'intervallo. In questo caso la convergenza è molto più forte: niente oscillazioni, niente Gibbs.

Identità di Parseval. Per una funzione $f$ in $L^2[-L,L]$:

Fisicamente: l'energia totale del segnale è la somma delle energie delle sue armoniche. È l'equivalente del teorema di Pitagora in infinite dimensioni.

La trasformata di Fourier estende l'idea della serie di Fourier a funzioni non periodiche: invece di sommare frequenze discrete $n\pi/L$, si integra su tutte le frequenze continue $\xi$:

La trasformata $\hat f(\xi)$ è una funzione complessa che dice "quanta" frequenza $\xi$ è presente nel segnale $f(x)$. L'inversa ("sintesi") è:

Proprietà fondamentali:

• Linearità: $\widehat{\alpha f+\beta g} = \alpha\hat f + \beta\hat g$.
• Derivazione: $\widehat{f'}(\xi) = 2\pi i\xi\,\hat f(\xi)$ — la derivata diventa moltiplicazione per $2\pi i\xi$, trasformando ODE in equazioni algebriche.
• Convoluzione: $\widehat{f*g}(\xi) = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi)$, dove $(f*g)(x)=\int f(t)g(x-t)\,dt$. La convoluzione — operazione costosa — nello spazio di Fourier diventa un semplice prodotto.
• Modulazione: $\widehat{f(x)e^{2\pi i\xi_0 x}}(\xi) = \hat f(\xi-\xi_0)$.
• Risposta in frequenza: per un sistema lineare tempo-invariante, l'uscita è $\hat y(\xi)=H(\xi)\hat u(\xi)$, dove $H$ è la funzione di trasferimento.

La trasformata di Fourier è lo strumento universale per l'elaborazione dei segnali: compressione audio (MP3), immagini (JPEG), comunicazioni (OFDM), risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali (equazione del calore, delle onde).

La trasformata di Laplace è la "cugina" della trasformata di Fourier, ma adatta a funzioni definite su $[0,\infty[$ (causali). È lo strumento principe per risolvere problemi di Cauchy con condizioni iniziali.

Proprietà chiave per le ODE. La trasformata della derivata elimina la derivata e introduce le condizioni iniziali:

Grazie a queste proprietà, un'ODE lineare a coefficienti costanti si trasforma in un'equazione algebrica in $F(s)$, facilmente risolvibile.

Tavola delle trasformate fondamentali:

• $\mathcal{L}\{1\} = 1/s$
• $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\} = 1/(s-a)$
• $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega/(s^2+\omega^2)$
• $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = s/(s^2+\omega^2)$
• $\mathcal{L}\{t\sin(\omega t)\} = 2\omega s/(s^2+\omega^2)^2$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \omega/[(s-a)^2+\omega^2]$
• $\mathcal{L}\{\delta(t-t_0)\} = e^{-s t_0}$ (impulso di Dirac)

Antitrasformazione. Data $F(s)$, si trova $f(t)$ usando la tavola in senso inverso, spesso con l'aiuto delle frazioni parziali per decomporre $F(s)$ in termini semplici.

La trasformata di Laplace è il metodo più diretto per risolvere problemi di Cauchy lineari. Il procedimento è sempre lo stesso:

Algoritmo generale:

1. Applicare $\mathcal{L}$ a entrambi i membri dell'ODE, usando le proprietà per le derivate e le condizioni iniziali.
2. Risolvere l'equazione algebrica per $Y(s)$.
3. Antitrasformare $Y(s)$ per ottenere $y(t)$, usando la tavola e le frazioni parziali.

Circuito RLC. La carica $q(t)$ in un circuito RLC serie soddisfa $L q'' + R q' + q/C = V(t)$. Trasformando con Laplace, si ottiene un'equazione algebrica in $Q(s)$ che include le condizioni iniziali $q(0)$ e $i(0)=q'(0)$. Antitrasformando si trova l'evoluzione completa del circuito.

Teorema del valore finale. Se il limite esiste, $\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to0} sF(s)$. Utile per trovare il comportamento a regime senza antitrasformare: per un sistema stabile, dice dove va a stabilizzarsi.

Funzione di trasferimento. Per un sistema lineare con ingresso $u(t)$ e uscita $y(t)$, definita $H(s)=Y(s)/U(s)$ (a condizioni iniziali nulle), $H(s)$ contiene tutta la dinamica del sistema. I poli di $H(s)$ determinano la stabilità: poli a parte reale negativa → sistema stabile.

La combinazione di Fourier e Laplace fornisce gli strumenti per analizzare qualsiasi sistema lineare: Fourier per la risposta in frequenza (regime sinusoidale), Laplace per la risposta completa (transitorio + regime).