Calcolo per le Curve

Una curva parametrica è una funzione $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ che a ogni valore del parametro $t$ associa un punto $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$. Il parametro $t$ è spesso il tempo: $\mathbf{r}(t)$ è la posizione, $\mathbf{r}'(t)$ la velocità, $\mathbf{r}''(t)$ l'accelerazione.

Curva vs traiettoria. La curva è la funzione $\mathbf{r}$, non solo l'insieme dei punti che descrive (il sostegno). Lo stesso sostegno può essere percorso a velocità diverse, in versi diversi, più volte: sono parametrizzazioni distinte. Esempio: $\mathbf{r}_1(t)=(\cos t,\sin t)$ e $\mathbf{r}_2(t)=(\cos 2t,\sin 2t)$ disegnano la stessa circonferenza, ma la seconda la percorre il doppio più veloce.

Curva regolare. Una curva è regolare se $\mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}$ per ogni $t$: la velocità non si annulla mai. Questo garantisce l'esistenza di una direzione di marcia ben definita, il versore tangente:

Nei punti dove $\mathbf{r}'=\mathbf{0}$ la curva può avere cuspidi o spigoli (es. la cicloide tocca il suolo con velocità nulla e forma una cuspide).

Come si misura la lunghezza di una curva storta? Idea: la si approssima con tanti piccoli segmenti, si sommano le loro lunghezze e si passa al limite. In un intervallino $dt$ il punto si sposta di $\mathbf{r}'(t)\,dt$, lungo $|\mathbf{r}'(t)|\,dt$. Sommando (integrando):

La quantità $ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt$ è l'elemento d'arco: il "metro infinitesimo" con cui pesiamo gli integrali di linea.

Indipendenza dalla parametrizzazione. La lunghezza è una proprietà geometrica del sostegno, non di come lo percorriamo: una parametrizzazione più veloce ha $|\mathbf{r}'|$ maggiore ma intervallo di tempo più breve, e i due effetti si compensano esattamente.

In coordinate polari. Se la curva è data da $r=r(\theta)$, ponendo $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ e svolgendo i conti si ottiene

Il termine $r$ tiene conto dello spostamento angolare (arco $r\,d\theta$), il termine $r'$ dello spostamento radiale.

Parametro d'arco. Si può riparametrizzare con $s$ (lunghezza percorsa) ponendo $|\mathbf{r}'(s)|=1$: la curva è allora percorsa a velocità unitaria, e molte formule (curvatura, Frenet) si semplificano.

La curvatura $\kappa$ misura quanto rapidamente la curva cambia direzione: è la velocità di rotazione del versore tangente rispetto alla lunghezza percorsa, $\kappa=|d\hat T/ds|$. Una retta ha $\kappa=0$ (la direzione non cambia); una circonferenza di raggio $R$ ha $\kappa=1/R$ costante (più è piccola, più curva).

Per una curva generica nello spazio, la formula pratica usa velocità e accelerazione:

Perché il prodotto vettoriale? Solo la componente dell'accelerazione perpendicolare alla velocità fa curvare la traiettoria (quella parallela cambia solo il modulo della velocità). Il prodotto $\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''$ isola proprio quella componente perpendicolare, e il suo modulo la misura.

Per un grafico $y=f(x)$, prendendo $\mathbf{r}(x)=(x,f(x))$:

Cerchio osculatore. In ogni punto, il raggio di curvatura è $\rho=1/\kappa$: è il raggio del cerchio che meglio approssima la curva lì (la "bacia", da osculum). Una macchina in curva con raggio di curvatura $\rho$ subisce accelerazione centripeta $v^2/\rho$: ecco perché le curve strette (piccolo $\rho$, grande $\kappa$) si prendono piano.

Vogliamo "sommare" i valori di una funzione scalare $f(x,y,z)$ lungo una curva $\gamma$. Pesando ogni valore con l'elemento d'arco $ds$:

Interpretazione fisica. Se $\gamma$ è un filo e $f$ la sua densità lineare (massa per unità di lunghezza), allora $\int_\gamma f\,ds$ è la massa totale del filo. Con $f=1$ si ritrova la lunghezza. Il valore medio di $f$ lungo $\gamma$ è $\frac{1}{L}\int_\gamma f\,ds$.

Indipendenza dall'orientazione. Poiché $ds=|\mathbf{r}'|\,dt\geq 0$, l'integrale di 1ª specie non cambia se si percorre la curva nel verso opposto: la massa di un filo non dipende da quale estremo chiami "inizio".

Per un campo vettoriale $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ (es. una forza, un campo elettrico) interessa la componente tangente alla curva: è quella che compie lavoro. L'integrale di linea di 2ª specie è

Interpretazione fisica. Se $\mathbf{F}$ è una forza, questo è il lavoro compiuto lungo $\gamma$. Il prodotto scalare $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ proietta la forza sulla direzione del moto: una forza perpendicolare al cammino non compie lavoro (come la forza centripeta su un'orbita circolare).

Dipendenza dall'orientazione. A differenza della 1ª specie, qui il segno cambia invertendo il verso di percorrenza: $\int_{-\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$. Tornare indietro lungo lo stesso cammino restituisce il lavoro fatto all'andata.

Un campo $\mathbf{F}$ è conservativo se è il gradiente di una funzione scalare $U$, detta potenziale: $\mathbf{F}=\nabla U$. Per questi campi accade qualcosa di magico: il lavoro non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi.

Conseguenza immediata: su un cammino chiuso ($A=B$) il lavoro è nullo, $\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0$. È il principio di conservazione dell'energia: la forza peso o quella elettrostatica non "creano né distruggono" energia su un giro completo.

Come riconoscere un campo conservativo. In $\mathbb{R}^2$, su un dominio semplicemente connesso (senza buchi), vale

È la stessa condizione di esattezza delle ODE: le derivate incrociate devono coincidere (simmetria della matrice Jacobiana). Attenzione al dominio: su domini con buchi la condizione $\partial_y P=\partial_x Q$ è necessaria ma non sufficiente (controesempio classico: il campo "a vortice" attorno all'origine).

Trovare il potenziale: si integra $U_x=P$ in $x$, poi si impone $U_y=Q$ per fissare la costante d'integrazione — esattamente come per le equazioni esatte.

Molte curve si descrivono naturalmente in coordinate polari $r=r(\theta)$, dove $r$ è la distanza dall'origine e $\theta$ l'angolo. Il legame con le cartesiane è $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.

• Circonferenza: $r=R$ (costante).
• Spirale di Archimede: $r=a\theta$ — il raggio cresce linearmente con l'angolo (solchi di un disco, molle a spirale).
• Cardioide: $r=a(1+\cos\theta)$ — forma a cuore, diagramma di un microfono direzionale.
• Rosa: $r=a\cos(k\theta)$ — petali ($k$ petali se $k$ dispari, $2k$ se pari).

La velocità in polari ha componente radiale $r'$ e componente trasversa $r$, da cui l'elemento d'arco $ds=\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta$ già visto. L'area spazzata da una curva polare è $A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$ — formula alla base della seconda legge di Keplero (il raggio pianeta-Sole spazza aree uguali in tempi uguali).

In ogni punto di una curva regolare nello spazio si costruisce un sistema di riferimento mobile, il triedro di Frenet $(\hat T,\hat N,\hat B)$, che accompagna il moto:

• Versore tangente $\hat T=\mathbf{r}'/|\mathbf{r}'|$: direzione del moto.
• Versore normale $\hat N=\hat T'/|\hat T'|$: punta verso il centro di curvatura (dove la curva "piega").
• Versore binormale $\hat B=\hat T\times\hat N$: perpendicolare al piano osculatore.

Le formule di Frenet legano le derivate di questi versori a due quantità geometriche: la curvatura $\kappa$ (quanto la curva piega nel piano osculatore) e la torsione $\tau$ (quanto esce da quel piano, "avvitandosi"):

Una curva piana ha $\tau=0$; un'elica ha $\kappa$ e $\tau$ costanti. Curvatura e torsione determinano la curva a meno di movimenti rigidi (teorema fondamentale delle curve).