CurveAlta

Integrale di linea — ∫_γ (x+y) ds

Calcola l'integrale di linea

\int_\gamma(x+y)\,ds

su γ(t)=(t,t),

t\in[0,1]

Dati forniti

γ(t) = (t, t)t∈[0,1]

Passi

0 / 3

Per un integrale di linea rispetto alla lunghezza d'arco serve ds = |γ'(t)| dt: calcolo quindi il modulo della derivata della parametrizzazione.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Esprimo l'integranda lungo la curva sostituendo x e y con la parametrizzazione: f(γ(t)) = t + t.
Metto insieme integranda e ds = √2 dt, poi integro in t sull'intervallo [0,1].

Svolgimento completo

Per un integrale di linea rispetto alla lunghezza d'arco serve ds = |γ'(t)| dt: calcolo quindi il modulo della derivata della parametrizzazione.
$|\gamma'| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$
$|\gamma'(t)| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . Poiché $\gamma(t) = (t,t)$ , si ha $\gamma'(t) = (1,1)$ .
Esprimo l'integranda lungo la curva sostituendo x e y con la parametrizzazione: f(γ(t)) = t + t.
$f = 2t$
$f(\gamma(t)) = x(t) + y(t) = t + t = 2t$ .
Metto insieme integranda e ds = √2 dt, poi integro in t sull'intervallo [0,1].
$\sqrt2\cdot[t^2]_0^1 = \sqrt2 \approx 1.414$
$\displaystyle\int_\gamma (x+y)\,ds = \int_0^1 2t\cdot\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\big[t^2\big]_0^1 = \sqrt{2} \approx \mathbf{1.414}$ .

Risultato:∫_γ(x+y) ds = √2 ≈ 1.414.

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