Integrali Multipli

In una variabile, $\int_a^b f\,dx$ è l'area sotto la curva, costruita come limite di somme di rettangolini $f(x_i)\,\Delta x$. In due variabili l'idea si alza di una dimensione: l'integrale doppio $\iint_D f\,dA$ è il volume compreso tra il grafico di $f(x,y)$ e il dominio $D$ nel piano.

Costruzione (somme di Riemann). Si suddivide $D$ in tante celle di area $\Delta A$, si sceglie un punto $(x_i,y_i)$ in ciascuna, si forma la somma dei volumetti $f(x_i,y_i)\,\Delta A$ e si fa tendere a zero la dimensione delle celle:

Casi particolari utili. Con $f=1$, $\iint_D dA$ è l'area di $D$. Se $f\geq0$ è il volume del solido sotto il grafico. Se $f$ è una densità, è la massa. La sfida pratica non è la definizione, ma calcolarlo: è qui che entra Fubini.

Il teorema di Fubini riduce un integrale doppio a due integrali semplici "uno dentro l'altro". Su un rettangolo $R=[a,b]\times[c,d]$:

Come si esegue. Nell'integrale interno si integra rispetto a una variabile tenendo l'altra costante, ottenendo una funzione della variabile rimasta; poi si integra questa. È come affettare il solido in fette parallele, calcolare l'area di ogni fetta, e sommare le aree.

Quando si può scambiare l'ordine. Se $f$ è continua sul rettangolo (o più in generale se $\iint|f|<\infty$), i due ordini danno lo stesso risultato. Ma scegliere l'ordine giusto può rendere un integrale facile invece che impossibile: a volte $\int e^{y^2}\,dy$ non si calcola in forma chiusa, mentre invertendo l'ordine sì (vedi esempi).

Raramente il dominio è un rettangolo. Per regioni più generali si usano i domini normali, in cui una variabile sta tra due funzioni dell'altra.

• Dominio $y$-normale: $D=\{a\leq x\leq b,\ g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\}$ — per ogni $x$ fissato, $y$ varia tra due curve. Si integra prima in $y$, poi in $x$.
• Dominio $x$-normale: $x$ tra due funzioni di $y$. Si integra prima in $x$, poi in $y$.

Inversione dell'ordine: la tecnica. A volte l'integrale interno è incalcolabile in un ordine ma immediato nell'altro. Per invertire: (1) disegna il dominio dai limiti dati; (2) rileggi il dominio scambiando il ruolo delle variabili; (3) riscrivi i nuovi limiti. È il passo che trasforma $\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ (impossibile) in $\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy$ (banale). Disegnare il dominio è quasi sempre la chiave.

Quando il dominio o la funzione hanno simmetria circolare, le coordinate cartesiane sono scomode. Passiamo a $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.

L'elemento d'area cambia. Il rettangolino $dx\,dy$ diventa un "settore anulare" di area $r\,dr\,d\theta$: il fattore $r$ è il determinante Jacobiano della trasformazione. Intuitivamente, a raggio maggiore lo stesso $d\theta$ copre un arco più lungo, quindi l'area cresce con $r$.

Quando usarle. Dischi, anelli, settori; funzioni con $x^2+y^2$ (che diventa $r^2$). Un disco di raggio $R$ ha limiti semplicissimi: $\theta\in[0,2\pi]$, $r\in[0,R]$. Dimenticare il fattore $r$ è l'errore più comune in assoluto.

L'integrale triplo $\iiint_V f\,dV$ estende l'idea a tre dimensioni: si somma $f$ su tutto un solido $V$. Per Fubini si calcola iterando tre integrali semplici, affettando il solido lungo una direzione:

Strategia "fetta per fetta". Si fissa $(x,y)$ e si integra $z$ tra le due superfici che delimitano il solido (pavimento e soffitto); poi si integra sulla "ombra" del solido nel piano $xy$ (un integrale doppio). Spesso conviene proiettare e ridurre a un doppio.

Cosa calcola. Con $f=1$ è il volume; con $f=\rho$ (densità) la massa; con $f=\rho\,d^2$ il momento d'inerzia rispetto a un asse. Le coordinate adatte (cilindriche, sferiche) rendono molti tripli calcolabili.

In 3D ci sono due cambi di coordinate fondamentali, ciascuno adatto a una simmetria.

Cilindriche (polari nel piano + $z$): $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$. Jacobiano $=r$, quindi $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. Ideali per cilindri, coni, paraboloidi — tutto ciò che ha simmetria attorno a un asse.

Sferiche: $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$, con $\rho\geq0$ (distanza dall'origine), $\phi\in[0,\pi]$ (angolo dal polo nord), $\theta\in[0,2\pi]$ (longitudine). Jacobiano $=\rho^2\sin\phi$:

Ideali per sfere, calotte, e per funzioni che dipendono dalla distanza dall'origine (potenziali gravitazionali ed elettrici). Il fattore $\rho^2\sin\phi$ riflette che, lontano dall'origine e vicino all'equatore, lo stesso angolo solido copre più volume.

Polari, cilindriche e sferiche sono casi particolari di un'unica formula. Per una trasformazione invertibile $\Phi:(u,v)\mapsto(x,y)$:

Perché compare $|\det J_\Phi|$. Una cella infinitesima di area $du\,dv$ viene deformata da $\Phi$ in un parallelogramma di area $|\det J_\Phi|\,du\,dv$ (il determinante Jacobiano è il fattore di dilatazione delle aree, §Funzioni vettoriali). Per conservare il valore dell'integrale, bisogna pesare con questo fattore.

Come scegliere $\Phi$. Due obiettivi: semplificare il dominio (renderlo un rettangolo) o semplificare l'integranda. Esempio: per $\iint e^{(y-x)/(y+x)}$ su un triangolo, la sostituzione $u=y-x$, $v=y+x$ raddrizza dominio e funzione insieme. Va sempre incluso il modulo: $|\det J_\Phi|$, mai con segno.

Gli integrali multipli traducono in formule le grandezze fisiche di un corpo esteso con densità $\rho$.

• Massa: somma della densità sul volume, $m=\iiint_V \rho\,dV$.
• Baricentro (centro di massa): media pesata delle coordinate, $\bar x=\dfrac{1}{m}\iiint_V x\,\rho\,dV$ (e analoghe per $\bar y,\bar z$). Per corpi omogenei coincide col baricentro geometrico.
• Momento d'inerzia rispetto a un asse: $I=\iiint_V d^2\,\rho\,dV$, con $d$ distanza dall'asse. Rispetto all'asse $z$: $d^2=x^2+y^2$, comodissimo in cilindriche.

Il momento d'inerzia misura la "resistenza a essere messo in rotazione": è l'analogo rotazionale della massa nella seconda legge di Newton ($\tau=I\alpha$). Per questo la scelta delle coordinate adatte (cilindriche per cilindri, sferiche per sfere) è decisiva: trasforma integrali ostici in calcoli di una riga.