Integrali MultipliAlta

Integrale doppio in coordinate polari

Calcola

\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,dA

sul disco x²+y²≤4.

Dati forniti

D: x²+y²≤4

Passi

0 / 3

Il dominio è un disco e l'integranda dipende da x²+y²: le coordinate polari semplificano tutto, con x²+y² = r² e l'elemento d'area dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
L'integranda non dipende da θ e gli estremi sono costanti, quindi le variabili si separano: integro per primo il fattore angolare ∫₀^{2π} dθ.
Integro la parte radiale ∫₀²r³ dr e moltiplico per il fattore angolare 2π già trovato.

Svolgimento completo

Il dominio è un disco e l'integranda dipende da x²+y²: le coordinate polari semplificano tutto, con x²+y² = r² e l'elemento d'area dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).
$\iint = \int_0^{2\pi}\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta$
In coordinate polari: $x^2+y^2 = r^2$ , $dA = r\,dr\,d\theta$ . L'integrale diventa $\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^2 r^3\,dr\,d\theta$ .
L'integranda non dipende da θ e gli estremi sono costanti, quindi le variabili si separano: integro per primo il fattore angolare ∫₀^{2π} dθ.
$\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$
$\displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$ .
Integro la parte radiale ∫₀²r³ dr e moltiplico per il fattore angolare 2π già trovato.
$2\pi\int_0^2 r^3\,dr = 2\pi\cdot4 = 8\pi \approx 25.13$
$2\pi\displaystyle\int_0^2 r^3\,dr = 2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi\cdot4 = 8\pi \approx \mathbf{25.13}$ .

Risultato:∬(x²+y²) dA = 8π ≈ 25.13.

Continua a studiare