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Lagrange — massimo di xy su x+y=4

Con i moltiplicatori di Lagrange, massimizza f(x,y)=xy sul vincolo x+y=4.

Dati forniti

f(x,y) = xyg: x+y=4

Passi

0 / 3

Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange, nel punto di estremo vincolato il gradiente della funzione è parallelo a quello del vincolo: ∇f = λ∇g. Da questa relazione ricavo un legame tra x e y.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Sostituisco la relazione trovata (x = y) nel vincolo x + y = 4 per determinare le coordinate del punto candidato.
Valuto la funzione nel punto trovato per ottenere il valore massimo sul vincolo.

Svolgimento completo

Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange, nel punto di estremo vincolato il gradiente della funzione è parallelo a quello del vincolo: ∇f = λ∇g. Da questa relazione ricavo un legame tra x e y.
$(y,x) = \lambda(1,1) \Rightarrow x=y$
$\nabla f = \lambda \nabla g \;\Rightarrow\; (y,x) = \lambda(1,1) \;\Rightarrow\; y = \lambda,\; x = \lambda \;\Rightarrow\; x = y$ .
Sostituisco la relazione trovata (x = y) nel vincolo x + y = 4 per determinare le coordinate del punto candidato.
$2x=4 \Rightarrow x=y=2$
$x + y = 4$ e $x = y$ ⇒ $2x = 4$ ⇒ $x = y = \mathbf{2}$ .
Valuto la funzione nel punto trovato per ottenere il valore massimo sul vincolo.
$f(2,2) = 4$
$f(2,2) = 2\cdot2 = \mathbf{4}$ . Massimo della funzione $f(x,y)=xy$ sul vincolo $x+y=4$ .

Risultato:Massimo f(2,2) = 4.

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