Macchine Termiche — Cicli di Carnot e Otto

Schema di una macchina termica: una macchina termica opera ciclicamente tra una sorgente calda a temperatura $T_H$ (che fornisce calore $Q_H$) e una sorgente fredda a $T_C$ (che assorbe calore $Q_C$). Il lavoro netto prodotto è $W = Q_H - Q_C$.

Rendimento: $\eta = W/Q_H = 1 - Q_C/Q_H$. Poiché $Q_C > 0$ sempre (II principio), si ha $\eta < 1$: nessuna macchina termica può convertire tutto il calore assorbito in lavoro.

Limite fondamentale: il rendimento è tanto maggiore quanto più $T_H$ è alta e $T_C$ è bassa. Per questo le moderne centrali termoelettriche operano a temperature e pressioni molto elevate (vapore surriscaldato a ~600°C) e usano acqua di raffreddamento a bassa temperatura.

Macchine inverse:

• Frigorifero/pompa di calore: assorbe lavoro $W$ per trasferire calore $Q_C$ dalla sorgente fredda a quella calda. Coefficiente di prestazione $COP_{fr} = Q_C/W = Q_C/(Q_H - Q_C)$.
• Pompa di calore per riscaldamento: $COP_{pc} = Q_H/W = T_H/(T_H - T_C)$ nel caso ideale.

Esempi reali: motore a vapore, turbina a gas, motore a scoppio (Otto), motore Diesel, macchina frigorifera.

Il ciclo ideale: il ciclo di Carnot è composto da 4 trasformazioni reversibili: due isoterme (a $T_H$ e $T_C$) alternate a due adiabatiche. È il ciclo con il massimo rendimento possibile tra due temperature assegnate.

• 1→2: espansione isoterma a $T_H$. Il gas assorbe $Q_H$ dalla sorgente calda e si espande, compiendo lavoro.
• 2→3: espansione adiabatica. Il gas si raffredda da $T_H$ a $T_C$ senza scambiare calore, continuando a compiere lavoro.
• 3→4: compressione isoterma a $T_C$. Il gas cede $Q_C$ alla sorgente fredda. L'ambiente compie lavoro sul gas.
• 4→1: compressione adiabatica. Il gas si riscalda da $T_C$ a $T_H$ senza scambiare calore.

Rendimento di Carnot: $\eta_{Carnot} = 1 - T_C/T_H$. Dipende solo dalle temperature assolute delle sorgenti. Per aumentare $\eta$, bisogna aumentare $T_H$ o diminuire $T_C$.

Teorema di Carnot: nessuna macchina termica che opera tra due sorgenti a temperatura $T_H$ e $T_C$ può avere rendimento superiore a $\eta_{Carnot}$. $\eta_{reale} \leq \eta_{Carnot}$, con l'uguaglianza solo per processi reversibili.

Relazione fondamentale: per il ciclo di Carnot: $Q_H/T_H = Q_C/T_C$. Questa relazione è alla base della definizione di entropia come funzione di stato.

Esempio numerico: una centrale termica con $T_H = 800$ K (527°C) e $T_C = 300$ K (27°C) ha $\eta_{Carnot} = 1 - 300/800 = 62.5\%$. I rendimenti reali sono ~35-45% a causa di irreversibilità, attriti e dispersioni termiche.

Il ciclo a 4 tempi (Nikolaus Otto, 1876): il ciclo di Otto descrive il funzionamento del motore a benzina. È composto da 4 trasformazioni: due adiabatiche e due isocore.

1. 1→2 — Compressione adiabatica: il pistone comprime la miscela aria-benzina. $T$ e $P$ aumentano. Il lavoro è negativo (subito dal sistema).
2. 2→3 — Combustione isocora: la candela accende la miscela. Il calore $Q_H$ viene rilasciato a volume costante. $P$ e $T$ aumentano bruscamente. Il lavoro è nullo ($V$ cost).
3. 3→4 — Espansione adiabatica (fase motrice): i gas caldi si espandono spingendo il pistone. Il gas compie lavoro positivo. $T$ e $P$ diminuiscono.
4. 4→1 — Scarico isocoro: la valvola di scarico si apre, i gas combusti vengono espulsi a volume costante. Il sistema cede calore $Q_C$ all'ambiente.

Rendimento di Otto: $\eta_{Otto} = 1 - 1/r^{\gamma-1}$, dove $r = V_{max}/V_{min}$ è il rapporto di compressione.

• $r$ tipico per motori a benzina: $8 \div 12$, che dà $\eta \approx 40\div 55\%$.
• $r$ più alto significa maggiore efficienza, ma anche maggior rischio di detonazione (combustione spontanea prima della candela).
• I motori Diesel hanno $r \approx 15\div 22$ e $\eta \approx 50\div 65\%$.

Confronto con Carnot: il ciclo di Otto ha rendimento inferiore a Carnot perché il calore viene aggiunto a volume costante (non isotermicamente), e il calore viene scaricato a temperatura variabile durante l'espansione.

Equivalenza dei due enunciati: il II Principio della termodinamica può essere formulato in due modi equivalenti:

Kelvin-Planck: è impossibile realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia la conversione integrale in lavoro del calore assorbito da una sorgente omogenea. In altre parole, $\eta < 1$ — una macchina termica non può avere rendimento unitario.

• Conseguenza: è impossibile costruire un motore perpetuo di seconda specie (che violerebbe solo il II principio, non il I).

Clausius: è impossibile realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia il trasferimento di calore da un corpo freddo a uno caldo. Serve sempre lavoro esterno per raffreddare.

• Conseguenza: un frigorifero ha bisogno di elettricità per funzionare. Un condizionatore d'aria consuma energia per raffreddare gli ambienti.

Perché sono equivalenti: se violassimo Kelvin-Planck, potremmo usare il lavoro prodotto per far funzionare una pompa di calore che trasferisce calore dal freddo al caldo, violando Clausius. E viceversa.

COP massimo teorico:

• Frigorifero: $COP_{fr,max} = T_C/(T_H - T_C)$ — il raffreddamento è più efficiente quando la differenza di temperatura è piccola.
• Pompa di calore: $COP_{pc,max} = T_H/(T_H - T_C)$ — è sempre $> 1$, quindi conviene sempre rispetto al riscaldamento elettrico diretto.