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Urto elastico — due masse

Massa m₁ = 3 kg con velocità v₁ = 4 m/s urta elasticamente m₂ = 1 kg ferma. Calcola le velocità finali di entrambe.
Dati forniti
m₁ = 3 kgv₁ = 4 m/sm₂ = 1 kgv₂ = 0
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  1. In un urto elastico 1D si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica. Risolvendo il sistema delle due conservazioni (con m₂ ferma) si ottiene la formula diretta v₁' = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁.
  2. Dallo stesso sistema di conservazione (quantità di moto + energia cinetica) si ricava la velocità del corpo inizialmente fermo: v₂' = 2m₁/(m₁+m₂)·v₁.
  3. Per verificare la conservazione, calcolo la quantità di moto totale prima dell'urto: si muove solo m₁, quindi p_i = m₁·v₁.
  4. Sommo i momenti finali p_f = m₁v₁' + m₂v₂'. Se coincide con p_i, la quantità di moto si è conservata: è il controllo che conferma la correttezza dei risultati.
Svolgimento completo
  1. In un urto elastico 1D si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica. Risolvendo il sistema delle due conservazioni (con m₂ ferma) si ottiene la formula diretta v₁' = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁.
    v1′=m1−m2m1+m2v1=3−13+1⋅4v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 = \dfrac{3-1}{3+1} \cdot 4
    v1′=m1−m2m1+m2 v1=3−13+1⋅4=24⋅4=2 m/sv_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 = \dfrac{3-1}{3+1}\cdot4 = \dfrac{2}{4}\cdot4 = \mathbf{2\,m/s}. Dopo l'urto m1m_1 continua nella stessa direzione ma più lentamente.
  2. Dallo stesso sistema di conservazione (quantità di moto + energia cinetica) si ricava la velocità del corpo inizialmente fermo: v₂' = 2m₁/(m₁+m₂)·v₁.
    v2′=2m1m1+m2v1=2⋅34⋅4v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 = \dfrac{2 \cdot 3}{4} \cdot 4
    v2′=2m1m1+m2 v1=2⋅34⋅4=64⋅4=6 m/sv_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 = \dfrac{2\cdot3}{4}\cdot4 = \dfrac{6}{4}\cdot4 = \mathbf{6\,m/s}. La massa leggera m2m_2 acquista una velocità maggiore rispetto a quella iniziale di m1m_1.
  3. Per verificare la conservazione, calcolo la quantità di moto totale prima dell'urto: si muove solo m₁, quindi p_i = m₁·v₁.
    pi=m1v1=3⋅4p_i = m_1 v_1 = 3 \cdot 4
    pi=m1v1=3⋅4=12 kg⋅m/sp_i = m_1 v_1 = 3 \cdot 4 = \mathbf{12\,kg\cdot m/s}. Prima dell'urto solo m1m_1 è in movimento.
  4. Sommo i momenti finali p_f = m₁v₁' + m₂v₂'. Se coincide con p_i, la quantità di moto si è conservata: è il controllo che conferma la correttezza dei risultati.
    pf=m1v1′+m2v2′=3⋅2+1⋅6p_f = m_1 v_1' + m_2 v_2' = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 6
    pf=m1v1′+m2v2′=3⋅2+1⋅6=6+6=12 kg⋅m/sp_f = m_1 v_1' + m_2 v_2' = 3\cdot2 + 1\cdot6 = 6 + 6 = \mathbf{12\,kg\cdot m/s} ✓. La quantità di moto si conserva. Verifica energia: KEi=12⋅3⋅16=24 J\mathrm{KE}_i = \tfrac12\cdot3\cdot16 = 24\,\mathrm{J}, KEf=12⋅3⋅4+12⋅1⋅36=6+18=24 J\mathrm{KE}_f = \tfrac12\cdot3\cdot4 + \tfrac12\cdot1\cdot36 = 6+18 = 24\,\mathrm{J} ✓.
Risultato:v₁' = 2 m/s, v₂' = 6 m/s. Entrambe conservazione p e KE verificate.
TeoriaUrtiFormularioFisica 1

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