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EnergiaDifficile

Molla, sbarra e corpo (rototraslazione)

Una sbarra omogenea e un corpo puntiforme, di massa m₁ = m₂ = 2 kg, sono su un piano orizzontale liscio. Una molla (k = 40000 N/m) compressa di Δx = 5 cm è tra un estremo della sbarra e il corpo. Trova la velocità v del corpo dopo lo sblocco.
m₁ m₂ Δx
Dati forniti
m₁ = m₂ = 2 kgk = 40000 N/mΔx = 0.05 m
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  1. La molla compressa ha immagazzinato energia potenziale elastica. Allo sblocco questa è l'unica energia disponibile e si trasformerà tutta in energia cinetica del sistema: per questo la calcolo come primo passo. L'energia di una molla compressa di Δx vale E = ½·k·Δx².
  2. Il piano è liscio, quindi non agiscono forze/momenti esterni: si conservano energia, quantità di moto e momento angolare. La sbarra non trasla solamente ma anche ruota (rototraslazione), perciò l'energia elastica si ripartisce tra corpo e sbarra. Imponendo le tre conservazioni si ottiene ½kΔx² = (5/2)·m·v², da cui v = √(kΔx²/(5m)).
Svolgimento completo
  1. La molla compressa ha immagazzinato energia potenziale elastica. Allo sblocco questa è l'unica energia disponibile e si trasformerà tutta in energia cinetica del sistema: per questo la calcolo come primo passo. L'energia di una molla compressa di Δx vale E = ½·k·Δx².
    E=12k Δx2=12⋅40000⋅0.052E = \tfrac12 k\,\Delta x^2 = \tfrac12\cdot 40000\cdot 0.05^2
    E=12⋅40000⋅0.0025=50 JE = \frac12\cdot40000\cdot0.0025 = \mathbf{50\,J}.
  2. Il piano è liscio, quindi non agiscono forze/momenti esterni: si conservano energia, quantità di moto e momento angolare. La sbarra non trasla solamente ma anche ruota (rototraslazione), perciò l'energia elastica si ripartisce tra corpo e sbarra. Imponendo le tre conservazioni si ottiene ½kΔx² = (5/2)·m·v², da cui v = √(kΔx²/(5m)).
    v=k Δx25m=40000⋅0.00255⋅2v = \sqrt{\frac{k\,\Delta x^2}{5m}} = \sqrt{\frac{40000\cdot 0.0025}{5\cdot 2}}
    v=100/10=10≈3.16 m/sv = \sqrt{100/10} = \sqrt{10} \approx \mathbf{3.16\,m/s}. Il fattore 5/2 viene da I=mℓ2/12I = m\ell^2/12.
Risultato:v≈3.16v \approx 3.16 m/s
TeoriaEnergia e LavoroFormularioFisica 1

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