Calcolo RⁿMedia

Gradiente e piano tangente

Per

f(x,y)=x^2+y^2

, calcola |∇f(3,4)| e scrivi il piano tangente.

Dati forniti

f(x,y) = x²+y²(x₀,y₀) = (3,4)

Passi

0 / 3

Il gradiente è il vettore delle derivate parziali, quindi calcolo ∂f/∂x e ∂f/∂y e le valuto nel punto (3,4).
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Il modulo del gradiente è la lunghezza del vettore (derivata direzionale massima): |∇f| = √(f_x² + f_y²).
Il piano tangente al grafico nel punto usa il valore della funzione e le derivate parziali come pendenze: z = f₀ + f_x(x−x₀) + f_y(y−y₀). Calcolo f(3,4) e lo scrivo.

Svolgimento completo

Il gradiente è il vettore delle derivate parziali, quindi calcolo ∂f/∂x e ∂f/∂y e le valuto nel punto (3,4).
$f_x = 2x = 6, \quad f_y = 2y = 8$
$f_x = 2x \;\Rightarrow\; f_x(3,4) = 6$ , $f_y = 2y \;\Rightarrow\; f_y(3,4) = 8$ . Derivate parziali di $f(x,y)=x^2+y^2$ in $(3,4)$ .
Il modulo del gradiente è la lunghezza del vettore (derivata direzionale massima): |∇f| = √(f_x² + f_y²).
$|\nabla f| = \sqrt{6^2+8^2} = 10$
$|\nabla f(3,4)| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ .
Il piano tangente al grafico nel punto usa il valore della funzione e le derivate parziali come pendenze: z = f₀ + f_x(x−x₀) + f_y(y−y₀). Calcolo f(3,4) e lo scrivo.
$f(3,4)=25 \Rightarrow z=25+6(x-3)+8(y-4)$
$f(3,4) = 3^2 + 4^2 = 25$ , $z = f(x_0,y_0) + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0) = 25 + 6(x-3) + 8(y-4) = 6x + 8y - 25$ . Equazione del piano tangente.

Risultato:|∇f(3,4)| = 10; piano tangente:

z = 6x+8y-25

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