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DinamicaDifficile

Disco che rotola su piano inclinato

Un disco omogeneo (M = 0.5 kg, R = 5 cm) rotola senza strisciare su un piano inclinato di θ = 25° (μs = 0.4). Calcola: accelerazione angolare, forza d'attrito e angolo massimo prima dello strisciamento.
mg N f θ
Dati forniti
M = 0.5 kgR = 0.05 mθ = 25°μs = 0.4
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  1. Il disco rotola senza strisciare, quindi vale il vincolo a = R·α. Servono due equazioni: (1) traslazione lungo il piano → Mg·sinθ − F_a = M·a; (2) rotazione attorno al centro → F_a·R = I·α, con I = ½MR² (disco). Dalla (2) ricavo F_a = ½M·R·α; lo sostituisco nella (1) insieme ad a = R·α, l'attrito si elimina e resta α = 2g·sinθ/(3R).
  2. È proprio l'attrito statico a fornire il momento che fa rotolare il disco (senza attrito scivolerebbe senza ruotare). Trovo prima l'accelerazione lineare a = R·α, poi dalla 2ª legge lungo il piano Mg·sinθ − F_a = M·a ricavo la forza d'attrito F_a.
  3. L'attrito statico ha un valore massimo pari a μs·N. Più il piano è ripido, più attrito serve per il rotolamento puro: oltre un certo angolo l'attrito massimo non basta e il disco inizia a slittare. Imponendo F_a richiesto ≤ μs·N si trova la condizione limite θ_max = arctan(3μs).
Svolgimento completo
  1. Il disco rotola senza strisciare, quindi vale il vincolo a = R·α. Servono due equazioni: (1) traslazione lungo il piano → Mg·sinθ − F_a = M·a; (2) rotazione attorno al centro → F_a·R = I·α, con I = ½MR² (disco). Dalla (2) ricavo F_a = ½M·R·α; lo sostituisco nella (1) insieme ad a = R·α, l'attrito si elimina e resta α = 2g·sinθ/(3R).
    α=2gsin⁡θ3R=2⋅9.81⋅sin⁡25°3⋅0.05\alpha = \frac{2g\sin\theta}{3R} = \frac{2\cdot9.81\cdot\sin25°}{3\cdot0.05}
    α=8.290.15≈55.3 rad/s2\alpha = \frac{8.29}{0.15} \approx \mathbf{55.3\,rad/s^2}.
  2. È proprio l'attrito statico a fornire il momento che fa rotolare il disco (senza attrito scivolerebbe senza ruotare). Trovo prima l'accelerazione lineare a = R·α, poi dalla 2ª legge lungo il piano Mg·sinθ − F_a = M·a ricavo la forza d'attrito F_a.
    Fa=Mgsin⁡θ−MRαF_a = Mg\sin\theta - M R\alpha
    a=2.76 m/s2a = 2.76\,m/s^2; Fa=2.07−1.38=0.69 NF_a = 2.07 - 1.38 = \mathbf{0.69\,N}.
  3. L'attrito statico ha un valore massimo pari a μs·N. Più il piano è ripido, più attrito serve per il rotolamento puro: oltre un certo angolo l'attrito massimo non basta e il disco inizia a slittare. Imponendo F_a richiesto ≤ μs·N si trova la condizione limite θ_max = arctan(3μs).
    θmax=arctan⁡(3μs)=arctan⁡(1.2)\theta_{max} = \arctan(3\mu_s) = \arctan(1.2)
    θmax=arctan⁡(1.2)≈50.2∘\theta_{max} = \arctan(1.2) \approx \mathbf{50.2^\circ}.
Risultato:α≈55.3\alpha \approx 55.3 rad/s², Fa≈0.69F_a \approx 0.69 N, θmax≈50.2°\theta_{max} \approx 50.2°
TeoriaDinamicaFormularioFisica 1

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