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DinamicaDifficile

Asta incernierata con fune

Un'asta omogenea AB (M = 8 kg, L = 1.2 m) è incernierata in A e tenuta orizzontale da una fune in B che forma un angolo α = 40° con l'asta. Calcola: tensione della fune, reazione verticale del fulcro, e la velocità angolare quando — tagliata la fune — l'asta passa per la verticale.
AB T mg α
Dati forniti
M = 8 kgL = 1.2 mα = 40°
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Passi
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  1. L'asta è in equilibrio: la somma dei momenti rispetto al perno A è nulla. Calcolo i momenti rispetto ad A così la reazione del perno (applicata in A) non compare. Il peso, applicato al centro, tende a far ruotare l'asta verso il basso; la fune la trattiene. Eguagliando i due momenti: T·L·sinα = Mg·(L/2), da cui T = Mg/(2sinα).
  2. Oltre ai momenti, anche le forze devono bilanciarsi. In verticale il peso tira giù, mentre lo reggono insieme la componente verticale della tensione (T·sinα) e la reazione verticale del perno. Dall'equilibrio verticale ricavo N_y = Mg − T·sinα.
  3. Tagliata la fune l'asta cade ruotando attorno ad A. Uso la conservazione dell'energia: il baricentro scende di L/2, quindi l'energia potenziale persa Mg·(L/2) diventa energia cinetica rotazionale ½Iω², con I = ML²/3 (asta che ruota attorno a un estremo). Da Mg·(L/2) = ½·(ML²/3)·ω² ricavo ω = √(3g/L).
Svolgimento completo
  1. L'asta è in equilibrio: la somma dei momenti rispetto al perno A è nulla. Calcolo i momenti rispetto ad A così la reazione del perno (applicata in A) non compare. Il peso, applicato al centro, tende a far ruotare l'asta verso il basso; la fune la trattiene. Eguagliando i due momenti: T·L·sinα = Mg·(L/2), da cui T = Mg/(2sinα).
    T=Mg2sin⁡α=8⋅9.812⋅sin⁡40°T = \frac{Mg}{2\sin\alpha} = \frac{8\cdot9.81}{2\cdot\sin40°}
    T=78.51.286≈61.0 NT = \frac{78.5}{1.286} \approx \mathbf{61.0\,N}.
  2. Oltre ai momenti, anche le forze devono bilanciarsi. In verticale il peso tira giù, mentre lo reggono insieme la componente verticale della tensione (T·sinα) e la reazione verticale del perno. Dall'equilibrio verticale ricavo N_y = Mg − T·sinα.
    Ny=Mg−Tsin⁡α=78.5−61.0⋅sin⁡40°N_y = Mg - T\sin\alpha = 78.5 - 61.0\cdot\sin40°
    Ny=78.5−39.2=39.3 NN_y = 78.5 - 39.2 = \mathbf{39.3\,N}.
  3. Tagliata la fune l'asta cade ruotando attorno ad A. Uso la conservazione dell'energia: il baricentro scende di L/2, quindi l'energia potenziale persa Mg·(L/2) diventa energia cinetica rotazionale ½Iω², con I = ML²/3 (asta che ruota attorno a un estremo). Da Mg·(L/2) = ½·(ML²/3)·ω² ricavo ω = √(3g/L).
    ω=3gL=3⋅9.811.2\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{\frac{3\cdot9.81}{1.2}}
    ω=24.53≈4.95 rad/s\omega = \sqrt{24.53} \approx \mathbf{4.95\,rad/s}.
Risultato:T≈61T \approx 61 N, Ny≈39.3N_y \approx 39.3 N, ω≈4.95\omega \approx 4.95 rad/s
TeoriaDinamicaFormularioFisica 1

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