Idrodinamica dei Fluidi Ideali

Per semplificare lo studio dei fluidi in movimento si introduce il modello di fluido ideale:

• Incomprimibile ($\rho = \text{cost}$): la densità non varia con la pressione. I liquidi reali approssimano bene questa condizione per velocità moderate.
• Non viscoso ($\eta = 0$): assenza di attrito interno tra gli strati di fluido. In realtà tutti i fluidi hanno una viscosità (acqua, aria), ma per molti problemi il suo effetto è trascurabile.

Moto stazionario: le proprietà del fluido (velocità, pressione, densità) in ogni punto non variano nel tempo: $\partial(\cdot)/\partial t = 0$. Le linee di flusso sono curve la cui tangente in ogni punto indica la direzione della velocità. In regime stazionario le linee di flusso coincidono con le traiettorie e non si incrociano.

Moto laminare vs turbolento:

• Laminare: il fluido scorre in strati ordinati e paralleli. Tipico a basse velocità e in condotti stretti (es. miele che cola).
• Turbolento: il moto è caotico con vortici e fluttuazioni. Tipico ad alte velocità e condotti larghi (es. acqua che esce da un idrante).

Esempi reali:

• Rubinetto: a portata moderata l'acqua esce in modo laminare (getto trasparente), aprendo molto diventa turbolenta (getto bianco per le bolle d'aria).
• Fumo di una sigaretta: inizialmente sale in modo laminare, poi diventa turbolento.
• Flusso sanguigno: nelle arterie sane il flusso è laminare; i soffi cardiaci indicano turbolenza.

L'equazione di continuità esprime la conservazione della massa. Per un fluido incomprimibile, la portata volumetrica $Q$ (volume che attraversa una sezione nell'unità di tempo) è costante: $$Q = A v = \text{cost} \quad [\text{m}^3/\text{s}]$$ Se la sezione si restringe, la velocità aumenta proporzionalmente, e viceversa: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.

Per un fluido comprimibile, si conserva la portata massica: $\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 = \dot{m} = \text{cost}$.

Interpretazione intuitiva: immagina di stringere l'estremità di un tubo da giardino — l'acqua esce più velocemente perché la stessa quantità d'acqua deve passare attraverso un'apertura più piccola nello stesso tempo.

Applicazioni ed esempi reali:

• Manichetta antincendio: stringendo l'ugello si riduce l'area di uscita, aumentando la velocità dell'acqua e la gittata.
• Fiume: dove l'alveo si restringe (strettoia) la corrente accelera; dove si allarga decelera.
• Circolazione sanguigna: la velocità del sangue diminuisce nei capillari (sezione totale enorme) e aumenta nelle arterie (sezione piccola).
• Condotti di ventilazione: le griglie sfruttano il restringimento per accelerare l'aria.
• Tubi Venturi: usano il restringimento per misurare la portata.

Il teorema di Bernoulli deriva dalla conservazione dell'energia meccanica lungo una linea di flusso di un fluido ideale in regime stazionario: $$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{costante}$$
Interpretazione dei tre termini (energia per unità di volume):

• $P$ — pressione statica: energia associata alle forze di pressione.
• $\frac{1}{2}\rho v^2$ — pressione dinamica: energia cinetica per unità di volume.
• $\rho g h$ — pressione di gravità: energia potenziale gravitazionale per unità di volume.

Conseguenza fondamentale: a parità di quota, dove la velocità aumenta la pressione diminuisce, e viceversa. Questo è l'effetto Bernoulli, alla base di numerosi fenomeni e applicazioni.

Applicazioni ed esempi reali:

• Portanza alare: l'ala di un aereo ha profilo asimmetrico. L'aria sulla parte superiore scorre più velocemente (percorso più lungo), creando una zona di bassa pressione sopra l'ala. La differenza di pressione genera una forza verso l'alto (portanza).
• Carburatore: il restringimento del condotto dell'aria crea una depressione che aspira la benzina dal serbatoio.
• Atomizzatore (profumo): schiacciando il bulbo si crea un getto d'aria veloce sopra un tubicino verticale; la bassa pressione aspira il liquido che viene nebulizzato.
• Pallone con effetto (curva): la rotazione del pallone crea una differenza di velocità dell'aria sui due lati, curvando la traiettoria (effetto Magnus).
• Tetto divelto dal vento: il vento forte sopra un tetto crea una zona di bassa pressione; la pressione interna, più alta, può sollevare il tetto.
• Fumaiolo: il vento sulla sommità del camino crea una depressione che favorisce l'estrazione dei fumi.

Teorema di Torricelli — efflusso da un serbatoio: Considera un serbatoio con un foro a profondità $h$ dal pelo libero. Applicando Bernoulli tra il pelo libero ($v_1 \approx 0$, $P_1 = P_{atm}$) e il foro ($P_2 = P_{atm}$): $$P_{atm} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh}$$ La velocità di efflusso è identica a quella di un corpo in caduta libera da altezza $h$. La portata attraverso il foro è $Q = A_{foro} v = A_{foro} \sqrt{2gh}$.

Tubo di Venturi — misuratore di portata: Un condotto con strozzatura intermedia. Applicando Bernoulli e continuità tra le sezioni 1 (larga) e 2 (stretta), si ricava la portata dalla differenza di pressione: $$\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right)$$ Combinando con $A_1 v_1 = A_2 v_2$ si ottiene $v_1$ e quindi $Q = A_1 v_1$.

Portanza alare in dettaglio: L'ala ha profilo asimmetrico: l'estradosso (superficie superiore) è più curvo dell'intradosso (superficie inferiore). Le linee di flusso si addensano sopra l'ala, aumentando la velocità e riducendo la pressione. La differenza $P_{inf} - P_{sup}$ genera una forza netta verso l'alto: $$F_{portanza} \approx \frac{1}{2} C_L \rho A v^2$$ dove $C_L$ è il coefficiente di portanza (dipendente dalla forma dell'ala e dall'angolo d'attacco), $\rho$ la densità dell'aria, $A$ la superficie alare e $v$ la velocità di volo.

Altre applicazioni:

• Sifone: sfrutta la differenza di pressione per far fluire un liquido da un livello a un altro attraverso un tubo.
• Venturi metro: misura di portata in condotte industriali, oleodotti, acquedotti.
• Tempo di svuotamento: integrando la portata si calcola il tempo necessario per svuotare un serbatoio.