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Induzione EMDifficile

Circuito RLC in corrente alternata

Un circuito serie RLC ha R = 50 Ω, L = 0.2 H, C = 50 μF, alimentato a V = 220 V (efficace), f = 60 Hz. Calcola: (a) X_L e X_C, (b) impedenza totale Z, (c) corrente efficace I, (d) frequenza di risonanza.
Dati forniti
R = 50 ΩL = 0.2 HC = 50×10⁻⁶ FV_rms = 220 Vf = 60 Hzω = 2πf ≈ 376.99 rad/s
Ripassa la teoria: Induzione EM
Passi
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  1. L'induttore si oppone alle variazioni di corrente: la sua reattanza cresce con la frequenza, X_L = ωL = 2πfL.
  2. Il condensatore si oppone soprattutto alle basse frequenze: la sua reattanza diminuisce al crescere della frequenza, X_C = 1/(ωC).
  3. In serie, resistenza e reattanze non si sommano direttamente perché sfasate di 90°: si combinano come vettori (diagramma dei fasori). Quindi Z = √(R² + (X_L − X_C)²).
  4. Alla risonanza le due reattanze si annullano a vicenda (X_L = X_C): l'impedenza è minima e pari a R, la corrente massima. Questo accade a f₀ = 1/(2π√(LC)).
Svolgimento completo
  1. L'induttore si oppone alle variazioni di corrente: la sua reattanza cresce con la frequenza, X_L = ωL = 2πfL.
    XL=ωL=2π⋅60⋅0.2=120πX_L = \omega L = 2\pi \cdot 60 \cdot 0.2 = 120\pi
    XL=ωL=2πfL=2π⋅60⋅0.2=24π≈75.4 ΩX_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 60 \cdot 0.2 = 24\pi \approx \mathbf{75.4\,\Omega}.
  2. Il condensatore si oppone soprattutto alle basse frequenze: la sua reattanza diminuisce al crescere della frequenza, X_C = 1/(ωC).
    XC=1ωC=12π⋅60⋅50×10−6X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi \cdot 60 \cdot 50\times10^{-6}}
    XC=1ωC=12πfC=12π⋅60⋅50×10−6=1376.99⋅50×10−6=10.01885≈53.05 ΩX_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \cdot 60 \cdot 50\times10^{-6}} = \dfrac{1}{376.99 \cdot 50\times10^{-6}} = \dfrac{1}{0.01885} \approx \mathbf{53.05\,\Omega}.
  3. In serie, resistenza e reattanze non si sommano direttamente perché sfasate di 90°: si combinano come vettori (diagramma dei fasori). Quindi Z = √(R² + (X_L − X_C)²).
    Z=R2+(XL−XC)2=502+(75.4−53.05)2Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (75.4 - 53.05)^2}
    Z=R2+(XL−XC)2=502+(75.4−53.05)2=2500+(22.35)2=2500+499.5=2999.5≈54.77 ΩZ = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (75.4 - 53.05)^2} = \sqrt{2500 + (22.35)^2} = \sqrt{2500 + 499.5} = \sqrt{2999.5} \approx \mathbf{54.77\,\Omega}.
  4. Alla risonanza le due reattanze si annullano a vicenda (X_L = X_C): l'impedenza è minima e pari a R, la corrente massima. Questo accade a f₀ = 1/(2π√(LC)).
    f0=12πLC=12π0.2⋅50×10−6f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.2 \cdot 50\times10^{-6}}}
    f0=12πLC=12π0.2⋅50×10−6=12π1×10−5=12π⋅0.003162=10.01987≈50.3 Hzf_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.2 \cdot 50\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{1\times10^{-5}}} = \dfrac{1}{2\pi\cdot0.003162} = \dfrac{1}{0.01987} \approx \mathbf{50.3\,Hz}. Alla risonanza Z=R=50 ΩZ = R = 50\,\Omega.
Risultato:X_L = 75.4 Ω, X_C = 53.1 Ω — Z = 54.8 Ω — I = 4.02 A — f₀ = 50.3 Hz.
TeoriaInduzione EMFormularioFisica 2

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