Onde Meccaniche

Un'onda meccanica è una perturbazione che si propaga in un mezzo elastico trasportando energia senza trasporto netto di materia. Gettando un sasso in uno stagno, le increspature si allontanano dal punto d'impatto: ogni molecola d'acqua oscilla verticalmente attorno alla propria posizione d'equilibrio, ma non si sposta orizzontalmente. L'energia del sasso si propaga, la materia no.

Perché un'onda meccanica ha bisogno di un mezzo? Perché la perturbazione si trasmette attraverso le interazioni tra particelle adiacenti del mezzo. In assenza di mezzo (vuoto), un'onda meccanica non può esistere. La luce (onda elettromagnetica) è diversa: può propagarsi nel vuoto perché è un'auto-oscillazione dei campi elettrico e magnetico.

Tipi di onde in base alla direzione di oscillazione:

• Onde trasversali: le particelle oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione. Esempio: una corda tesa in cui un'estremità viene scossa verticalmente. L'onda viaggia orizzontalmente, ma ogni tratto di corda si muove su e giù. Onde elettromagnetiche, onde S dei terremoti, onde su membrane.
• Onde longitudinali: le particelle oscillano parallelamente alla propagazione. Il suono è l'esempio classico: la membrana di un altoparlante comprime e rarefà l'aria alternativamente, e queste zone di alta e bassa pressione viaggiano verso l'ascoltatore. Onde P dei terremoti, molle (slinky) compresse e rilasciate.

Onde reali — i terremoti: un terremoto genera entrambi i tipi di onde. Le onde P (primarie, longitudinali) viaggiano più veloci (~6 km/s nella crosta) e arrivano per prime. Le onde S (secondarie, trasversali) sono più lente (~3.5 km/s) ma trasportano più energia e causano i danni maggiori. Misurando il ritardo tra P e S in diverse stazioni sismiche, i geologi calcolano l'epicentro del sisma.

Grandezze fondamentali:

• Ampiezza $A$ (m): massimo spostamento dalla posizione di riposo. L'energia trasportata è proporzionale a $A^2$: onde con ampiezza doppia trasportano 4 volte l'energia.
• Periodo $T$ (s): tempo necessario per un'oscillazione completa.
• Frequenza $f = 1/T$ (Hz): numero di oscillazioni al secondo.
• Lunghezza d'onda $\lambda$ (m): distanza tra due creste consecutive (o due ventri, o due punti in fase).
• Pulsazione $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ (rad/s): frequenza angolare.
• Numero d'onda $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m): quante oscillazioni spaziali in $2\pi$ metri.

Relazione fondamentale $v = \lambda f$: la velocità dell'onda è determinata dalle proprietà del mezzo (tensione, densità, elasticità). Se la velocità è fissa, frequenza e lunghezza d'onda sono inversamente proporzionali: una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d'onda più corta, e viceversa.

Partiamo dal moto armonico semplice: un punto materiale oscilla nel tempo secondo $y(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$. Per descrivere un'onda dobbiamo aggiungere la dipendenza spaziale: due punti diversi lungo la direzione di propagazione si trovano in fasi diverse dello stesso moto periodico.

Costruzione della funzione d'onda: Immaginiamo di fotografare l'onda a un istante $t$ fisso. Vediamo una sinusoide nello spazio: $y(x) = A\cos(kx + \text{costante})$. Il numero d'onda $k = 2\pi/\lambda$ dice quante oscillazioni spaziali ci sono in $2\pi$ metri. Ora, se l'onda viaggia verso destra, la cresta che si trovava in $x$ al tempo $t=0$ si sarà spostata in $x + vt$ al tempo $t$. Matematicamente: ciò che "vedevamo" in $(x,0)$ ora lo vediamo in $(x+vt, t)$. Riscrivendo: $y(x,t) = A\cos(k(x - vt) + \phi_0) = A\cos(kx - kvt + \phi_0)$. Ma $kv = (2\pi/\lambda)(\lambda f) = 2\pi f = \omega$. Quindi:

$y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi_0)$

Questa è l'equazione d'onda armonica progressiva (verso destra). Per un'onda che viaggia verso sinistra: $y = A\cos(kx + \omega t + \phi_0)$.

Interpretazione dei parametri: $kx - \omega t$ è la fase dell'onda. Fissiamo una cresta: $kx - \omega t = \text{costante} \Rightarrow x = (\text{costante} + \omega t)/k$. La posizione della cresta si sposta con velocità $dx/dt = \omega/k = v$, detta velocità di fase.

Equazione differenziale delle onde: Da $y(x,t) = f(x-vt)$ (con $f$ funzione qualsiasi, non solo sinusoidale) si può derivare l'equazione alle derivate parziali che tutte le onde soddisfano:

$\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

Verifichiamo per $y = A\cos(kx - \omega t)$:

• $\partial y/\partial t = \omega A \sin(kx - \omega t) \Rightarrow \partial^2 y/\partial t^2 = -\omega^2 A \cos(kx - \omega t) = -\omega^2 y$
• $\partial y/\partial x = -k A \sin(kx - \omega t) \Rightarrow \partial^2 y/\partial x^2 = -k^2 A \cos(kx - \omega t) = -k^2 y$
• Quindi $\partial^2 y/\partial t^2 = (\omega^2/k^2) \partial^2 y/\partial x^2 = v^2 \partial^2 y/\partial x^2$ ✓

Significato fisico: l'accelerazione di un punto ($\partial^2 y/\partial t^2$) è proporzionale alla curvatura della corda ($\partial^2 y/\partial x^2$). Dove la corda è più incurvata, la forza di richiamo netta è maggiore e l'accelerazione è più intensa — esattamente come ci si aspetta da un mezzo elastico.

La velocità di un'onda meccanica NON dipende dalla frequenza o dall'ampiezza, ma solo dalle proprietà fisiche del mezzo in cui si propaga: l'elasticità (capacità di trasmettere la forza di richiamo) e l'inerzia (resistenza al movimento).

Onda su una corda tesa:
$v = \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}}$
dove $F_T$ è la tensione della corda (N) e $\mu = m/L$ è la densità lineare di massa (kg/m).

Intuizione fisica — la derivazione: Consideriamo un piccolo segmento di corda di lunghezza $\Delta x$. La tensione agisce tangenzialmente alle due estremità. Se la corda è incurvata, le due tensioni hanno componenti verticali opposte, generando una forza netta di richiamo. Applicando la seconda legge di Newton ($F = m a$) e passando al limite $\Delta x \to 0$, si ottiene l'equazione d'onda $\partial^2 y/\partial t^2 = (F_T/\mu) \cdot \partial^2 y/\partial x^2$, da cui $v^2 = F_T/\mu$.

Più tensione → forza di richiamo maggiore → l'onda si propaga più velocemente. Più densità → maggiore inerzia → l'onda si propaga più lentamente. Una corda di chitarra più spessa (maggiore $\mu$) produce note più gravi a parità di tensione e lunghezza.

Onda in un solido (barra sottile):
$v = \sqrt{\dfrac{E}{\rho}}$
dove $E$ è il modulo di Young (rigidità del materiale, in Pa) e $\rho$ è la densità di massa (kg/m³). L'acciaio ($E \approx 200$ GPa, $\rho \approx 7800$ kg/m³) ha $v \approx 5060$ m/s. La gomma ha velocità molto più bassa perché poco rigida.

Suono in un gas:
$v = \sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}$
dove $\gamma = c_p/c_v$ è il rapporto dei calori specifici (1.4 per l'aria), $R = 8.314$ J/(mol·K) è la costante dei gas, $T$ è la temperatura in kelvin, $M$ è la massa molare (kg/mol). Nell'aria a 20°C: $v \approx 343$ m/s.

Dipendenza dalla temperatura: $v \approx 331\sqrt{T/273} \;\mathrm{m/s}$. Per ogni grado Celsius in più, la velocità aumenta di circa 0.6 m/s. Ecco perché il suono viaggia più veloce nelle giornate calde.

Confronto tra mezzi:

• Aria (20°C): 343 m/s
• Acqua (20°C): 1482 m/s
• Acciaio: ~5960 m/s
• Vetro: ~5640 m/s

Il suono viaggia molto più velocemente nei solidi che nei liquidi, e nei liquidi che nei gas, perché le molecole sono più vicine e interagiscono più fortemente.

L'equazione d'onda $\partial^2 y/\partial t^2 = v^2 \partial^2 y/\partial x^2$ è un'equazione lineare: se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni, anche $y_1 + y_2$ lo è. Questo è il principio di sovrapposizione — le onde si sommano linearmente senza disturbarsi a vicenda.

Interferenza di due onde con la stessa frequenza:
Consideriamo due onde che viaggiano nella stessa direzione con la stessa ampiezza $A$, stessa pulsazione $\omega$, stesso numero d'onda $k$, ma fase diversa:
$y_1 = A\cos(kx - \omega t)$, $y_2 = A\cos(kx - \omega t + \Delta\phi)$

Sommiamo usando la formula di prostaferesi $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$y_{tot} = y_1 + y_2 = 2A \cos\frac{\Delta\phi}{2} \; \cos\left(kx - \omega t + \frac{\Delta\phi}{2}\right)$

Il risultato è un'onda con la stessa frequenza ma ampiezza $A_{tot} = 2A|\cos(\Delta\phi/2)|$.

Casi limite:

• Interferenza costruttiva ($\Delta\phi = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$): $\cos(\Delta\phi/2) = \pm 1$, $A_{tot} = 2A$. L'onda risultante ha ampiezza doppia e intensità quadrupla ($I \propto A^2$).
• Interferenza distruttiva ($\Delta\phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$): $\cos(\Delta\phi/2) = 0$, $A_{tot} = 0$. Le due onde si cancellano completamente.

Differenza di percorso e differenza di fase: Se la differenza di fase nasce da un diverso cammino percorso $\Delta r$, allora $\Delta\phi = (2\pi/\lambda)\Delta r$. Quindi:

• Costruttiva: $\Delta r = m\lambda$ (percorso intero multiplo di $\lambda$)
• Distruttiva: $\Delta r = (m+\tfrac{1}{2})\lambda$ (mezzo intero in più)

Esempio reale — cuffie noise-canceling: I microfoni captano il rumore ambientale, l'elettronica genera un'onda con fase opposta ($\Delta\phi = \pi$), e le due onde interferiscono distruttivamente nell'orecchio, cancellando il rumore.

Battimenti — frequenze diverse: Se due onde hanno frequenze leggermente diverse ($\omega_1 \approx \omega_2$):
$y_{tot} = \left[2A\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\right] \cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)$
L'ampiezza oscilla lentamente con frequenza $f_{batt} = |f_2 - f_1|$, producendo un "pulsare" del suono. I musicisti usano i battimenti per accordare gli strumenti: quando la frequenza di battimento diventa zero, lo strumento è accordato.

Un'onda stazionaria nasce dalla sovrapposizione di due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte. Pensiamo a un'onda sulla corda che viene riflessa all'estremità fissa: onda incidente e onda riflessa interferiscono creando un profilo che non si propaga ma oscilla sul posto.

Derivazione matematica:
$y_1 = A\cos(kx - \omega t)$ (verso destra), $y_2 = A\cos(kx + \omega t)$ (verso sinistra, riflessa)

Sommando: $y = y_1 + y_2 = A[\cos(kx-\omega t) + \cos(kx+\omega t)] = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$

Questa è la forma di un'onda stazionaria: la dipendenza spaziale ($\cos(kx)$) e temporale ($\cos(\omega t)$) sono separate. Ogni punto della corda oscilla con la stessa frequenza $\omega$, ma con ampiezza $2A|\cos(kx)|$ che varia con la posizione.

Nodi e ventri:

• Nodi: punti in cui $\cos(kx) = 0 \Rightarrow kx = (2n+1)\pi/2 \Rightarrow x = (2n+1)\lambda/4$. Non oscillano mai.
• Ventri: punti in cui $|\cos(kx)| = 1 \Rightarrow kx = n\pi \Rightarrow x = n\lambda/2$. Oscillano con ampiezza massima $2A$.

Condizioni al contorno — corda fissata agli estremi: Le estremità sono nodi (non possono muoversi). Quindi $x=0$ e $x=L$ devono essere nodi. Questo impone $\lambda_n = 2L/n$, con $n = 1,2,3,\ldots$. Le frequenze di risonanza sono:

$f_n = \dfrac{v}{\lambda_n} = \dfrac{n\,v}{2L} \quad (n=1,2,3,\ldots)$

$n=1$ è la frequenza fondamentale (primo armonico); $n=2$ è il secondo armonico, e così via. Ogni armonico ha $n$ ventri.

Tubo aperto-chiuso: L'estremità aperta è un ventre (l'aria può muoversi liberamente), l'estremità chiusa è un nodo. Questo permette solo $\lambda_n = 4L/(2n-1)$, cioè solo armoniche dispari:

$f_n = \dfrac{(2n-1)\,v}{4L} \quad (n=1,2,3,\ldots)$

Tubo aperto-aperto: Entrambe le estremità sono ventri → stesse frequenze della corda: $f_n = nv/(2L)$.

Esempi reali:

• Una chitarra produce la nota fondamentale e le sue armoniche. Il timbro (suono "caldo" o "brillante") dipende dall'intensità relativa delle armoniche.
• Un clarinetto si comporta come un tubo aperto-chiuso: produce solo armoniche dispari, dandogli un timbro caratteristico.
• Il ponte di Tacoma Narrows (1940) entrò in risonanza con il vento, accumulando energia fino al collasso — un esempio drammatico di risonanza meccanica.

Il suono è un'onda meccanica longitudinale che si propaga in un mezzo (solido, liquido o gas) come oscillazione di pressione. Una sorgente sonora (corda vocale, altoparlante, diapason) mette in vibrazione le molecole adiacenti, creando regioni alternate di compressione (alta pressione) e rarefazione (bassa pressione) che viaggiano nel mezzo.

Campo uditivo umano: L'orecchio umano percepisce frequenze tra ~20 Hz e ~20.000 Hz (20 kHz). Infrasuoni (<20 Hz) e ultrasuoni (>20 kHz) esistono ma non li sentiamo. I cani sentono fino a ~45 kHz, i delfini fino a ~150 kHz.

Intensità sonora $I$: è la potenza trasportata per unità di area (W/m²). Per una sorgente puntiforme che emette isotropicamente (uguale in tutte le direzioni):

$I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$

L'intensità diminuisce con il quadrato della distanza: raddoppiando la distanza, l'intensità si riduce a un quarto ($I \propto 1/r^2$). Questo è il legge dell'inverso del quadrato.

Scala dei decibel (dB): L'orecchio umano risponde in modo logaritmico all'intensità. Invece di usare $I$ direttamente, si usa il livello sonoro:

$\beta = 10\log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$

dove $I_0 = 10^{-12}$ W/m² è la soglia di udibilità (il suono più debole che l'orecchio umano può percepire a 1 kHz).

Esempi di livelli sonori:

• 0 dB: Soglia di udibilità ($I_0 = 10^{-12}$ W/m²)
• 30 dB: Sussurro a 1 m
• 60 dB: Conversazione normale
• 90 dB: Traffico pesante / aspirapolvere
• 120 dB: Concerto rock / martello pneumatico — soglia del dolore
• 140 dB: Motore a reazione a 30 m — danno immediato all'udito

Proprietà importanti della scala dB:

• Raddoppiare $I$ → $\beta$ aumenta di $10\log_{10}(2) \approx +3$ dB. Due altoparlanti identici producono 3 dB in più di uno solo.
• Decuplicare $I$ → $\beta$ aumenta di $+10$ dB. Un suono 10 volte più intenso viene percepito circa "doppiamente forte".
• Soglia di danno: esposizione prolungata sopra 85 dB può causare danni permanenti all'udito. Per questo i concerti rock sono potenzialmente pericolosi.

Calcolo pratico: Se una sorgente da 100 W produce a 50 m un'intensità $I = 100/(4\pi\cdot 50^2) = 3.18\times10^{-3}$ W/m², il livello sonoro è $\beta = 10\log_{10}(3.18\times10^{-3}/10^{-12}) = 10\log_{10}(3.18\times10^{9}) \approx 95$ dB.

Tutti hanno sperimentato l'effetto Doppler: quando un'ambulanza si avvicina, la sirena sembra più acuta (frequenza più alta); quando si allontana, diventa più grave (frequenza più bassa). Questo cambiamento di frequenza avviene perché il moto relativo tra sorgente e osservatore modifica il numero di fronti d'onda che raggiungono l'osservatore nell'unità di tempo.

Formula generale:

$f' = f_0\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$

dove:

• $f_0$ = frequenza emessa dalla sorgente (Hz)
• $f'$ = frequenza percepita dall'osservatore (Hz)
• $v$ = velocità del suono nel mezzo (m/s)
• $v_o$ = velocità dell'osservatore (m/s)
• $v_s$ = velocità della sorgente (m/s)

Convenzione dei segni: Le velocità sono positive nel verso dell'avvicinamento:

• Numeratore ($v \pm v_o$): $+v_o$ se osservatore si avvicina alla sorgente (aumenta la frequenza percepita); $-v_o$ se si allontana.
• Denominatore ($v \mp v_s$): $-v_s$ se sorgente si avvicina all'osservatore (diminuisce il denominatore, aumenta $f'$); $+v_s$ se si allontana.

Perché avviene? — Due casi fisici diversi:

1. Sorgente in movimento ($v_s > 0$, $v_o = 0$): La sorgente "insegue" le onde che emette nella direzione del moto. I fronti d'onda si accorciano davanti alla sorgente (lunghezza d'onda $\lambda' = (v - v_s)/f_0$) e si allungano dietro. L'osservatore davanti percepisce $f' = v/\lambda' = f_0\,v/(v - v_s) > f_0$.

2. Osservatore in movimento ($v_o > 0$, $v_s = 0$): L'osservatore "incontra" i fronti d'onda più rapidamente. Se si avvicina, la velocità relativa dell'onda rispetto a lui è $v + v_o$, quindi $f' = (v+v_o)/\lambda = f_0\,(v+v_o)/v > f_0$.

I due casi danno formule diverse ma concordano nel risultato finale. La formula generale li unifica.

Onde d'urto — velocità supersonica ($v_s > v$): Se la sorgente supera la velocità del suono ($v_s > v$), "sorpassa" le proprie onde. I fronti d'onda si accumulano lungo un cono detto cono di Mach. Quando questo cono raggiunge l'osservatore, si sente un boom sonico — un'improvvisa variazione di pressione. L'angolo del cono è $\sin\theta = v/v_s$. I caccia supersonici e i proiettili producono boom sonici.

Applicazioni:

• Radar autovelox: un'onda elettromagnetica (che segue la stessa formula Doppler, ma relativisticamente) viene riflessa dal veicolo in movimento. Misurando la differenza di frequenza si calcola la velocità.
• Ecografia Doppler: onde ultrasonore riflesse dai globuli rossi in movimento permettono di misurare la velocità del flusso sanguigno.
• Redshift astronomico: la luce delle galassie lontane è spostata verso il rosso (frequenza più bassa) perché l'universo è in espansione. Questo è l'effetto Doppler relativistico per la luce, che ha permesso a Hubble di scoprire l'espansione dell'universo.